Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1

[creator777]

1. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.
Выразить $V_c$ в виде интеграла.

2. Пусть объем трех конусов с высотой, равной радиусу основания $(V_3k)$ - есть функция радиуса $r$: $V_3k=f(r)=3\cdot \frac{1}{3} \pi r^3=\pi r^3$.
Выразить $V_3k$ в виде интеграла.

3. Пусть объем трех цилиндров с высотой, равной одной третьей радиуса основания $(V_3c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_3c=\pi r^3$.
Выразить $V_3c$ в виде интеграла.

Примечание:все три интеграла должны иметь различный вид, но одинаковое значение.

[hurtsy]

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.

А что возможны другие значения $V_c=f(r)=\pi r^3$? Тестировать так тестировать. Огласите весь список возможных значений. Будем избирать или выбирать, как Вам больше понравится. С уважением,

[creator777]

hurtsy в сообщении #447059 писал(а):

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.

А что возможны другие значения $V_c=f(r)=\pi r^3$? Тестировать так тестировать. Огласите весь список возможных значений. Будем избирать или выбирать, как Вам больше понравится. С уважением,

Извините, но должен Вас огорчить...Не Вы первый изобрели фокус увода дискуссии с основной темы на искусственно изобретенную второстепенную, вследствие неспособности ответить на главный вопрос...

Давайте попробуем сравнить смыслы двух выражений:

1. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.

2. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ равен $V_c=f(r)=\pi r^3$.

Не улавливаете разницы?!

[ewert]

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Выразить $V_c$ в виде интеграла.

$V_c=\int_0^1\pi r^3\,dx$

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Выразить $V_3k$ в виде интеграла.

$V_3k=\int_0^1\pi r^3\,2x\,dx$

hurtsy в сообщении #447059 писал(а):

Выразить $V_3c$ в виде интеграла.

$V_3c=\int_0^1\pi r^3\,\,3x^2dx$

[creator777]

ewert в сообщении #447257 писал(а):

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Выразить $V_c$ в виде интеграла.

$V_c=\int_0^1\pi r^3\,dx$

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Выразить $V_3k$ в виде интеграла.

$V_3k=\int_0^1\pi r^3\,2x\,dx$

hurtsy в сообщении #447059 писал(а):

Выразить $V_3c$ в виде интеграла.

$V_3c=\int_0^1\pi r^3\,\,3x^2dx$

Извините, ради бога, но место аргумента уже "занято"! В условии всех трех задач это - радиус $r$ и высота, равная радиусу основания. Как-бы, буковке икс тут не место...

Извините, ради бога, еще раз, но в Ваших интегралах улавливается саркастическая шутка, типа: $a=a \cdot 1=a \cdot 1^{2}=a \cdot 1^{3}$, связанная с некоторой особенностью интеллекта, присущей, также, и первому шутнику, когда "не знаю, но хоть поприкалываюсь".

[Munin]

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

1. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.
Выразить $V_c$ в виде интеграла.

$$V_c=\int\limits_{-r\sqrt{2}}^{r\sqrt{2}}dx\int\limits_{\lvert x\rvert-r\sqrt{2}}^{-\lvert x\rvert+r\sqrt{2}}dy\int\limits_{-\sqrt{r^2-(y-x)^2/2}}^{+\sqrt{r^2-(y-x)^2/2}}dz$$

-- 18.05.2011 19:13:38 --

creator777 в сообщении #447280 писал(а):

Извините, ради бога, но место аргумента уже "занято"! В условии всех трех задач это - радиус $r$ и высота, равная радиусу основания. Как-бы, буковке икс тут не место...

Если вы не понимаете разницы между аргументом функции и переменной интегрирования, то это вы здесь шутник, когда "не знаю, но хоть поприкалываюсь".

[gris]

А нельзя в первом пункте написать $$\int\limits_0^r 3\pi t^2\,dt$

Кстати, а вот если вначале написать два доллара, а потом один, то наблюдается некий эффект. Это на самом деле?

[Munin]

(Оффтоп)

gris в сообщении #447288 писал(а):

Кстати, а вот если вначале написать два доллара, а потом один, то наблюдается некий эффект. Это на самом деле?

Не полагайтесь на ошибки движка форума, лучше используйте вполне официально существующие команды \displaystyle и \textstyle.

[gris]

(Оффтоп)

Ну это да. Просто бывают ошибки движка, а бывают недокументированные возможности. Ну типа iddqd
Набирать-то поменьше.

[ewert]

creator777 в сообщении #447280 писал(а):

в Ваших интегралах улавливается саркастическая шутка,

Никаких шуток, всё очень серьёзно.

Вы просили интегралы? -- вот Вам интегралы. Просили, чтоб были разные? -- они разные. Просили, чтоб результаты совпадали? -- совпадают.

Я выполнил решительно все Ваши просьбы. Не понимаю, чем Вы недовольны.

-- Ср май 18, 2011 21:11:37 --

И кстати:

creator777 в сообщении #447280 писал(а):

, присущей, также, и первому шутнику,

Если Вы о hurtsy, то он вовсе не шутил. Он всего лишь выразил недоумение по поводу неграмотности формулировок типа

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$.

Я бы по этому поводу, может, и тоже прикололся бы, но -- как Вы метко заметили, место к тому моменту было уже занято. И между прочим: переизбыток запятых -- это тоже пусть и маленькая, но неграмотность.

[Munin]

А чего неграмотного? Функция? Функция. От $r?$ От $r.$ Не от $\pi,$ всё-таки. Да, и не от $3$ :-)

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #447343 писал(а):

А чего неграмотного?

Всё неграмотно. По-русски так не говорят. Хотя это уж и многократный оффтопик, начиная со стартового поста в этой ветке.

Ключевое тут слово -- "пусть". Оно категорически недопустимо. И я сильно подозреваю, что недопустимо и на любом из типа демократических языков.

[creator777]

Насчет грамотности советую вам "не лезть на рожон", а то опростоволоситесь.

Вместо того, чтоб спокойненько ответить на первый пункт:

$\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$

зачем-то подняли невесть что...

Надеюсь, что оставшиеся два интеграла не принесут столько же неприятностей, как первый.

-- Ср май 18, 2011 23:15:38 --

ewert в сообщении #447257 писал(а):

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Выразить $V_c$ в виде интеграла.

$V_c=\int_0^1\pi r^3\,dx$

creator777 в сообщении #447015 писал(а):

Выразить $V_3k$ в виде интеграла.

$V_3k=\int_0^1\pi r^3\,2x\,dx$

hurtsy в сообщении #447059 писал(а):

Выразить $V_3c$ в виде интеграла.

$V_3c=\int_0^1\pi r^3\,\,3x^2dx$

Вообще-то запись $V_c=\int_0^1\pi r^3\,dx$ подразумевает операцию:

$\displaystyle\frac{d}{dx}V_c=\pi r^3$. Вы не считаете эту запись некомфортной?

[ewert]

creator777 в сообщении #447394 писал(а):

Вместо того, чтоб спокойненько ответить на первый пункт:

$\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$

Этого пункта не было. И я искренне надеюсь, что и Вы сами это сознаёте. (ну, почти искренне)

-- Ср май 18, 2011 23:23:03 --

creator777 в сообщении #447394 писал(а):

Вы не считаете эту запись некомфортной?

А-а, в этом смысле. Да, считаю. Там в ту Мерю томатного соку явно недолито.

[Munin]

ewert в сообщении #447363 писал(а):

Ключевое тут слово -- "пусть". Оно категорически недопустимо

Да, хотя я так понял, что топикстартер всего лишь неуклюже хотел выразить "рассмотрим объём цилиндра как функцию от $r$"...

А что вы думаете о моём интеграле? :-)

-- 18.05.2011 23:29:54 --

creator777 в сообщении #447394 писал(а):

Вообще-то запись $V_c=\int_0^1\pi r^3\,dx$ подразумевает операцию:

$\displaystyle\frac{d}{dx}V_c=\pi r^3$. Вы не считаете эту запись некомфортной?

Вообще-то не подразумевает. Ну вот, теперь вы путаете определённые интегралы с неопределёнными...