Как понять что такое предел?

[bigarcus]

Правильно ли:
Определение: предел последовательности - координата (то есть действительное число) центра всех (любых радиусов, разве что нельзя брать радиус равный нулю или бесконечности) таких окружностей (если такие окружности вообще существуют), что всегда внутри любой из них членов данной последовательности бесконечное количество, а вне любой из этих окружностей - всегда конечное число членов данной последовательности?

ps написал ужасно, перед читающими извиняюсь, получше не удалось сформулировать то, что мне удалось понять из Вашей помощи. спасибо!

-- Сб май 07, 2011 17:08:38 --

Я для разбора Зорича планирую использовать, начал, но пока медлен в начале, с множествами и высказываниями.
А так Зорич не плох? Что значит 'по фильтру' - я не знаю.
А пределы зачастую в анализе вводят, почему тогда, например, в указанных листках Вирбицкого он вводит понятие предела в топологии?

[bigarcus]

если я правильно понял предел последовательности, то как от такого понимания перейти к пониманию понятия предела функции.

-- Сб май 07, 2011 17:17:55 --

перед тем, как ewert написал про мой (топикстартеровский) интерес, я как раз дописывал следующее:
Виктор Викторов, Вы не слишком ли усложняете частной спецификой суть дела? Или дело как раз в такой специфике, я не знаю. Просто то, что Вы пишете, мне не понятно. Надеюсь, снизойти до объяснения не ниже Ваших интересов и достоинства, раз уж Вы и так мне уделяете время. Я Вам благодарен, но запутываюсь еще больше. Обращаюсь же я именно за помощью. Извините, если грубовато или нагловато вышло. Хочу разобраться.

[Виктор Викторов]

bigarcus в сообщении #443084 писал(а):

Виктор Викторов, Вы не слишком ли усложняете частной спецификой суть дела? Или дело как раз в такой специфике, я не знаю. Просто то, что Вы пишете, мне не понятно. Надеюсь, снизойти до объяснения не ниже Ваших интересов и достоинства, раз уж Вы и так мне уделяете время. Я Вам благодарен, но запутываюсь еще больше. Обращаюсь же я именно за помощью. Извините, если грубовато или нагловато вышло. Хочу разобраться.

ewert прав. Мои идеи Вам пока не по зубам. Вам же нужно усвоить базовые вещи. Есть ли у Вас свой конспект? Или Вы изучаете мат. анализ самостоятельно?

[gris]

bigarcus, к (почти) любому определению можно подобрать эквивалентное. То есть необходимый и достаточный признак, который сам может выступать в качестве определения. И даже полезно поворошить устоявшиеся определения для их лучшего понимания. Добавить, убрать или изменить некоторые слова и посмотреть, что получилось.
Но необходимо выполнять некоторые формальные правила. Ваше определение представляет собой ту самую жуть, которая Вам интересна и непонятна. Из самых невинных грехов укажу некоторую избыточность фразы "всегда внутри любой из <концентрических окружностей> членов данной последовательности бесконечное количество, а вне любой из этих окружностей - всегда конечное число членов данной последовательности."

[bigarcus]

Стыдно признаться, но лекции по матану я уже прослушал (учился на физике).
Своих конспектов не осталось (я их вроде не писал).
Так что, изучаю самостоятельно.

-- Сб май 07, 2011 17:42:41 --

Хорошо, а если попробую подделать, так, чтобы Ваши замечания постараться учесть, но и чтобы понятность для меня (сохранилась):

Определение: предел последовательности - координата (то есть действительное число) центра хотя бы одной окружности ненулевого и небесконечного радиуса, такой, что вне неё находится лишь конечное количество членов данной последовательности.

-- Сб май 07, 2011 17:46:35 --

Нет, что-то не то: у меня получается, что предел не единственен для данной последовательности. Подумаю и исправлюсь. А пока извините за, вероятно, бред.

[Kallikanzarid]

Цитата:

Определение: предел последовательности - координата (то есть действительное число) центра всех (любых радиусов, разве что нельзя брать радиус равный нулю или бесконечности) таких окружностей (если такие окружности вообще существуют), что всегда внутри любой из них членов данной последовательности бесконечное количество, а вне любой из этих окружностей - всегда конечное число членов данной последовательности?

Замечания:
1) Координата - можно говорить и так, но в случае $\mathbb{R}$ это излишне - просто число :)
2) Нулю и бесконечности нельзя по определению предела. С бесконечностью без предела мы не сможем строго работать, кстати, так что она отпадает еще и по этой причине.
3) Не окружностей, а шаров (заполненных внутри, без границы). В случае $\mathbb{R}$ шар с центром в точке $x$ и радиусом $\varepsilon$ - это интервал $(-\varepsilon + x, x + \varepsilon)$. В $\mathbb{R}^2$ шар - это круг без окружности-границы, в $\mathbb{R}^3$ шар - это шар :) и т. д. В случае общего метрического пространства шар определяется как множество точек $y$, для которых функция расстояния от $x$ (метрика) меньше радиуса: $\rho(x, y) < \varepsilon$. Например, в $\mathbb{R}$ расстояние задается как $\rho(x, y) = |x - y|$. Может быть, вас смутило слово "внутри шара"? "Внутри" здесь означает всего лишь "принадлежит" :)
4) А так - да.

Цитата:

А пределы зачастую в анализе вводят, почему тогда, например, в указанных листках Вирбицкого он вводит понятие предела в топологии?

Понятие предела связано с непрерывностью, в анализе удобно определять непрерывность через предел, в топологии - наоборот. Зачем - это полезно :)

Цитата:

если я правильно понял предел последовательности, то как от такого понимания перейти к пониманию понятия предела функции.

Функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ отображает $\mathbb{R}$ в себя. Для того, чтобы строго исследовать такие свойства функции, как непрерывность, мы вводим понятие предела. Непрерывность интуитивно означает, что функция переводит близкие точки в близкие. Что, если мы рассмотрим, что становится с последовательностями, когда к их элементам применяют функцию $f$? Если функция где-то терпит разрыв, то логично предположить, что тогда какая-то последовательность при отображении может оказаться "разорванной" на два куска, в каждом из которых - бесконечное количество точек (т.е. не имеющей предела). Собственно, такое поведение и принимают за определение разрывности.

Пределом функции в точке $x_0$ называют точку $y_0$ такую, что каждая последовательность, сходящаяся к $x_0$, после применения функции $f$ будет сходиться к $y_0$: $$x_n \to x_0 \Rightarrow f(x_0) \to y_0$. Также существует эквивалентное определение на языке $\varepsilon$-$\delta$, но я забыл, соответствует ли оно приведенному тривиально или там нужно нетривиально доказывать необходимость и достаточность

Говорят, что функция непрерывна, если $\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$, то есть $x_n \to x_0 \Rightarrow f(x_n) \to f(x_0)$. Если разные последовательности вдруг будут сходиться к разным пределам или (эквивалентно, доказывается "сборкой-разборкой" последовательностей) у образов некоторых сходящихся последовательностей под $f$ не будет предела, то говорят, что функция терпит разрыв.

Разрывы бывают различных типов. Например, устранимым разрывом называется разрыв, при котором для каждой последовательности, удовлетворяющей условию $x_n \neq x_0$, последовательность $\lim_{x \to x_0}f(x_n) = y_0$ (но $y_0 \neq f(x_0)$). В таком случае можно "убрать" разрыв в этой точке, определив новую функцию, равную $f(x)$ везде, кроме $x_0$. Конечно, не все разрывы такие хорошие. См. пример Виктора Викторова.

-- Сб май 07, 2011 21:59:31 --

Виктор Викторов в сообщении #443094 писал(а):

Мои идеи Вам пока не по зубам.

Как скромно ^_^

[Виктор Викторов]

Очень грубо: есть функция $f$ и существует точка $x_0{.}$ Функция $f$ определена на открытом интервале $(a, b){,}$ включающем точку $x_0$ может быть за исключением самой точки $x_0{.}$ Нас будет интересовать поведение значений функции вокруг точки $x_0{.}$ Именно поэтому нас не очень волнует определена функция в самой этой точке или нет. Если найдется такая точка, что значения функции «кучкуются» именно около неё, то эта точка (в множестве значений) и будет пределом функции $f$ в точке $x_0{.}$ Пример:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2, x\ne 5\\ 85, x=5 \end{array} \right. $
Как видите, значение в точке $x=5$ есть $85{,}$ а предел $25{.}$ Теперь я буду писать формальное определение, а Вы усваивать написанное.

(Оффтоп)

bigarcus в сообщении #443084 писал(а):

... если грубовато или нагловато вышло.

Никакой грубости или наглости в Ваших писаниях не вижу.

Kallikanzarid в сообщении #443105 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443094 писал(а):

Мои идеи Вам пока не по зубам.

Как скромно ^_^

Сейчас давайте делом займемся, а скромностью потом.

Теперь более официально. Есть функция $f$ и точка $x_0{.}$ Живем мы по умолчанию в множестве действительных чисел. В области прибытия рассмотрим открытый интервал $(l, m){,}$ содержащий точку $y_0{.}$ Если по каждому такому открытому интервалу (сколь угодно малому) найдется открытый интервал $(a, b){,}$ содержащий точку $x_0$ такой, что все $x$ из $(a, b)$ попадут с помощью $f$ в $(l, m){,}$ то точка $y_0$ и есть предел функции $f$ в точке $x_0{.}$ В нашем примере возьмите какой-нибудь открытый интервал точки $25$ (например, $(24.995, 25.01){)}$ и посмотрите что произойдет.

[Kallikanzarid]

Виктор Викторов в сообщении #443110 писал(а):

Пример:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2, x\ne 5\\ 85, x=5 \end{array} \right. $
Как видите, значение в точке $x=5$ есть $85{,}$ а предел $25{.}$

Здесь предел будет зависить от отображаемой последовательности (например, $(5, 5, 5, \ldots)$ отобразится в $(85, 85, 85, \ldots)$), функция предела иметь не будет (хотя будет иметь предел слева и справа). Пересмотрел определение, таки вы правы

[Виктор Викторов]

Kallikanzarid в сообщении #443118 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443110 писал(а):

Пример:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2, x\ne 5\\ 85, x=5 \end{array} \right. $
Как видите, значение в точке $x=5$ есть $85{,}$ а предел $25{.}$

Здесь предел будет зависить от отображаемой последовательности (например, $(5, 5, 5, \ldots)$ отобразится в $(85, 85, 85, \ldots)$), функция предела иметь не будет (хотя будет иметь предел слева и справа).

Вы путайте с пределом по фильтру. Посмотрите здесь topic22459.html

(Оффтоп)

Как у меня там со скромностью?

[ewert]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #443121 писал(а):

Как у меня там со скромностью?

вполне нормально, но вот с оффтопичностью --явный перебор

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #443110 писал(а):

Есть функция $f$ и точка $x_0{.}$ Живем мы по умолчанию в множестве действительных чисел. В области прибытия рассмотрим открытый интервал $(l, m){,}$ содержащий точку $y_0{.}$ Если по каждому такому открытому интервалу (сколь угодно малому) найдется открытый интервал $(a, b){,}$ содержащий точку $x_0$ такой, что все $x$ из $(a, b)$ попадут с помощью $f$ в $(l, m){,}$ то точка $y_0$ и есть предел функции $f$ в точке $x_0{.}$

Нужно добавить «все $x$ из $(a, b)$» кроме может быть точки $x_0$. Нас интересует, что делается вокруг точки $x_0{,}$ а сама точка нас заинтересует только тогда, когда доберемся до непрерывности.

[gris]

bigarcus, в принципе в той куче, которую Вы насыпали в качестве определения предела последовательности, есть жемчужное зерно. Если Вы сами до этой идеи дошли, то я снимаю панамку.

Я бы так переформулировал Вашу идею: "$A$ есть предел последовательности, если вне любой окрестности $A$ содержится не более чем конечное число членов последовательности."

И тут можно придраться...
Но старайтесь, чтобы определения были лаконичными и красивыми.

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #443151 писал(а):

"$A$ есть предел последовательности, если вне любой окрестности $A$ содержится не более чем конечное число членов последовательности."

И тут можно придраться...

Если сделать окрестности вложенными и добавить "начиная с некоторой", то станет совсем хорошо.

[gris]

Придирка не засчитана. Это лишние условия. Ноль членов не более, чем конечное число, если Вы об этом. В терминах ТС ещё можно было бы сказать и про окружности с центром в $A$, но это ненужное сужение.
Тут можно придраться к отсутствию в определении случая плюс или минус бесконечности, но вполне можно и договориться об окрестности той или иной бесконечности. И определение сработает.

[Ales]

Чтобы понять, можно что-нибудь приближенно вычислить, например число $e$ - основание натурального логарифма.
После этого можно придумать определение - формализацию приближения с какой угодно точностью - что там в пределе. Это определение совпадет с тем что в учебниках.