Как понять что такое предел?

[bigarcus]

А понятие предела функции всегда предел функции в точке?
А если выбирать разные точки, то, получается, что у одной функции много пределов? Это же не так (вроде)?!

Предел - это число?

Что такое окрестность?

-- Сб май 07, 2011 15:15:38 --

Ответ Kitozavr'а переварить не могу.

[caxap]

(Шутка)

Школьник знает, что предел при $x\to x_0$ функции $f$ -- это такое число $y$, что $x$ все ближе, ближе, ближе к $x_0$, а $f(x)$ все ближе, ближе, ближе к $y$.
Первокурсник знает, что предел при $x\to x_0$ функции $f$ -- это такое число $y$, что для каждого эпсилон больше нуля и т. д.
А аспирант наконец понял, что предел при $x\to x_0$ функции $f$ -- это такое число $y$, что $x$ все ближе, ближе, ближе к $x_0$, а $f(x)$ все ближе, ближе, ближе к $y$.

ТС рекомендую Фихтенгольца, 1 том.

[gris]

Кстати, эта шутка Kitozavra c переменой обозначений $\delta-\varepsilon$ начисто вырубает впечатлительных первокусников, которые в школе вырубались "неправильным" уравнением $cx^2+ax+b=0$ .

[Kallikanzarid]

bigarcus в сообщении #443019 писал(а):

А понятие предела функции всегда предел функции в точке?

Простой ответ - да :)

Цитата:

А если выбирать разные точки, то, получается, что у одной функции много пределов? Это же не так (вроде)?!

Но в каждой точке - один (если он существует).

Цитата:

Что такое окрестность?

Под $\varepsilon$-окрестностью точки $x$ в $\mathbb{R}$ понимают шар $B_\varepsilon(x) := \{y \in \mathbb{R} : |x - y| < \varepsilon\}$. Выражение на языке $\varepsilon$-$\delta$ вида "существует $\delta$ такое, что для любого $y$ если $|x - y| < \delta$, то..." ($x$ в этом примере считаем фиксированной точкой) можно эквивалентно эквивалентно сформулировать как "найдется шар $B_\delta(x)$ такой, что для любой содержащейся в нем точки...". Продолжение - в моем следующем посте :)

[Виктор Викторов]

Kitozavr в сообщении #443017 писал(а):

Предел функции в точке можно представить так:
Возьмём некоторую $\epsilon$ окрестность точки $x_o$, тогда если всем $x$ принадлежащим этой окрестности соответствует значение функции $f(x)$, которое принадлежит $\delta$ окрестности ($\delta$ зависит от $\epsilon$)$f(x_o)$, то предел функции в этой точке равен $f(x_o)$.

bigarcus в сообщении #443019 писал(а):

Ответ Kitozavr'а переварить не могу.

И не переваривайте. В этом «определении» всего пару ошибок. Начнем с того, что $f$ может быть не определена в точке $x_o$. Там ещё маленькая неприятность: начинать надо с окрестности предполагаемого предела, а не с окрестности точки $x_o$.

[Kallikanzarid]

Таким образом, предел последовательности можно определить как точку такую, что все элементы последовательности, кроме конечного их числа, лежат в шаре с центром в этой точке с любым наперед заданным радиусом. Предел функции $\lim_{x \to x_0}f(x)$ можно определить как такую точку $y_0$, что любая последовательность, сходящаяся к $x_0$, функцией $f$ отображается в последовательность, сходящуюся к $y_0$. Иными словами, для любого наперед заданного шара $B$ с центром в $y_0$ можно задать такой шар $V$ с центром в $x_0$, что любая последовательность, имеющая за пределами шара $V$ лишь конечное число точек, функцией $f$ полностью отобразится внутрь $B$. Это строгая версия варианта "это такое число $y_0$, что $x_0$ все ближе, ближе, ближе к $x_0$, а $f(x)$ все ближе, ближе, ближе к $y_0$" :)

[Виктор Викторов]

Kallikanzarid в сообщении #443033 писал(а):

Цитата:

А если выбирать разные точки, то, получается, что у одной функции много пределов? Это же не так (вроде)?!

Но в каждой точке - один (если он существует).

В пространстве действительных чисел правильно. Но существуют и другие пространства. И там пределов может быть весьма несколько.

[Kallikanzarid]

Виктор Викторов в сообщении #443041 писал(а):

В пространстве действительных чисел правильно. Но существуют и другие пространства. И там пределов может быть весьма несколько.

Go on...

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

caxap в сообщении #443026 писал(а):

Школьник знает, что предел при $x\to x_0$ функции $f$ -- это такое число $y$, что $x$ все ближе, ближе, ближе к $x_0$, а $f(x)$ все ближе, ближе, ближе к $y$.

Первокурсник знает, что предел при $x\to x_0$ функции $f$ -- это такое число $y$, что для каждого эпсилон больше нуля и т. д.

А аспирант наконец понял, что предел при $x\to x_0$ функции $f$ -- это такое число $y$, что $x$ все ближе, ближе, ближе к $x_0$, а $f(x)$ все ближе, ближе, ближе к $y$.

А есть ещё математические диссиденты. Они говорят, что предел функции в точке – ослабленная непрерывность.

-- Сб май 07, 2011 09:03:52 --

Kallikanzarid в сообщении #443043 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #443041 писал(а):

В пространстве действительных чисел правильно. Но существуют и другие пространства. И там пределов может быть весьма несколько.

Go on...

I don't understand your question.

[gris]

Последовательность дч может иметь континуум пределов, если они частичные.

[Mitrius_Math]

caxap в сообщении #443026 писал(а):

ТС рекомендую Фихтенгольца, 1 том.

Рекомендую "Основы математического анализа" Ильина и Позняка, часть 1. По-моему, намного понятнее Фихтенгольца.

[Kallikanzarid]

Виктор Викторов в сообщении #443047 писал(а):

I don't understand your question.

When do we have a non-unique limit? The only thing that comes to my mind is a limit of some net in a non-Hausdorff space, is this what you have in mind? And why are we talking in English?

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #443048 писал(а):

Последовательность дч может иметь континуум пределов, если они частичные.

А что такое частичная последовательность действительных чисел?

[gris]

Слово "частичные" по правилу согласования времён относится к "пределам", а не к "последовательности"

[Kallikanzarid]

gris в сообщении #443053 писал(а):

Слово "частичные" по правилу согласования времён относится к "пределам", а не к "последовательности"

Скорее к действительным числам, ибо частичные пределы мы здесь не обсуждаем