Задача о футбольном мяче

[likusta]

Футбольный мяч склеен из 6-угольников и 5-угольников, по три в одной вершине. Сколько у
него 5-угольников?

[mihailm]

Вот считайте)

[Sasha2]

Интересно, а мячи эти лепят так приближенно или это выражение тоного геометрического факта.
Что-то весьма сомнительно, чтобы так можно сферу порезать.

[ewert]

Мячик -- это икосаэдр со срезанными вершинками. Посчитайте, сколько у икосаэдра вершин и сколько граней.

[likusta]

А решение инвариантно?

[ewert]

Относительно чего?...

[likusta]

Относительно количества пятиугольников и шестиугольников

[ewert]

Какие могут быть разговоры о "количестве многоугольников". Если в одной вершине сходятся три грани, то эта конструкция вне всяких сомнений жёсткая. Так что раз уж решение есть, то оно заведомо единственно.

[V.V.]

likusta, примените формулу Эйлера В-Р+Г=2, где В - количество вершин, Р - количество ребер, Г - количество граней.

[likusta]

А как составить систему уравнений, совсем не получается...

[maxmatem]

Цитата:

А как составить систему уравнений, совсем не получается...

А какой системе речь? вам же намекнули про теорему Эйлера

[likusta]

Мы можем использовать характеристику Эйлера, только как инвариант(В-Р+Г=2), составив уравнение или их систему должны получить решение (Пусть $n$ -количество пятиугольников, а $k$ - количество шестиугольников, а дальше получается неверный ответ, следовательно, есть ошибка.)

[ewert]

likusta в сообщении #422007 писал(а):

а дальше получается неверный ответ,

Почему?... Получается $n=12$ ($k$ сократятся), и это правда. А потом посмотрите, как соотносятся $n$ и $k$ между собой (если сложить количества шестиугольников, примыкающих к каждому пятиугольнику, то каждый шестиугольник учтётся при этом три раза).

Только это не доказательство. Это говорит лишь о том, что если такая картинка возможна -- то лишь с такими количествами. А возможна ли она фактически в случае именно правильных многоугольников -- это уже отдельная песня. Тут надо просто знать про икосаэдр, тогда и считать ничего не нужно будет.

[V.V.]

ewert, прочитайте условие! Там ничего не сказано про правильность многоугольников.

[ewert]

V.V. в сообщении #422018 писал(а):

ewert, прочитайте условие! Там ничего не сказано про правильность многоугольников.

Читайте условие внимательнее. Там сказано, что это -- мяч, более того: не просто мяч, но -- футбольный. Не будь те многоугольники правильными -- разве смог бы хоть кто-то играть в футбол?... А ведь играют, и миллионы людей!