Плотность вероятности функции случайной величины

[_hum_]

А еще совет, значения преобразованной случайной с.в. $\eta = \xi^2$ обозначать через y. Тогда не нужно будет заморачиваться с рассмотрением отдельных случаев, а можно будет сосредоточиться сразу на области значений $y \geq 0$:

$$F_{\eta}(y) = P(\xi^2 < y) = P\{\xi \in (-\sqrt{y}, \sqrt{y})\} = \dots$$

[--mS--]

_hum_, следует ли Вас понимать так, что $F_{\eta}(y)$ не существует (не определена) при $y<0$? Хотя совет, безусловно, полезен.

[ewert]

А ещё полезнее обозначать значения маленькими буковками, а сами величины -- большими. Ассоциирование же греческих букв с латинскими как-то напрягает.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #418164 писал(а):

_hum_, следует ли Вас понимать так, что $F_{\eta}(y)$ не существует (не определена) при $y<0$?

Нет, конечно. Скорее следует понимать, что для задания всей функции распределения с.в. $\eta$ достаточно рассмотреть ее значения на $\mathrm{Im} \,\eta$.

[mihalko1803]

Пишу по определению (распределение просто для хи по условию$N \sim (0, 1)$):

$F_{\xi^2}(x)=P\{\xi^2 \leq x\} = P\{\sqrt x \geq \xi \geq -\sqrt x\} = \int \limits_{-\sqrt x}^{\sqrt x} f(u) du = \sqrt \frac {2}{\pi} \int \limits_{0}^{\sqrt x} e^{-\frac {u^2}{2}}du$, тогда по теореме о дифференцировании интеграла по параметру, $I(y)=\int \limits_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x,y)dx \Rightarrow I'(y) = \int \limits_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f'_y(x,y)dx+f(\beta(y),y)\beta'(y)-f(\alpha(y),y)\alpha'(y)$ (там условия необходимые для теоремы этой выполнены, тогда)

$f_{\xi^2}(x)=\sqrt \frac {2}{\pi}(\int \limits_{0}^{\sqrt x}-ue^{-\frac {u^2}{2}}du + e^{-\frac{x}{2}}\frac{1}{2\sqrt x}) =\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}}+\sqrt \frac {2}{\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt x} e^{-\frac{u^2}{2}}d(-\frac{u^2}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}}+\sqrt \frac {2}{\pi}(e^{-\frac{x}{2}}-1)$

Какой-то ответ странный, точно где-то ошибка. Не подскажете, где?

[--mS--]

mihalko1803 в сообщении #421960 писал(а):

Какой-то ответ странный, точно где-то ошибка. Не подскажете, где?

Уже подсказывали.

--mS-- в сообщении #415822 писал(а):

Второе же равенство неверно, и в приличном месте его просто зачеркнут при проверке :). Да и интегралы тут лишние: зачем дифференцировать по параметру интегралы, если можно дифференцировать разность функций распределения?

[mihalko1803]

Получилось $f_{\xi^2}(x)=\left\{ {\text{0, x<0}\atop {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{\sqrt x} - e^{-\sqrt x}+\frac{e^{-\frac{x}{2}}}{\sqrt x})} \right$

Верно?

[ewert]

mihalko1803 в сообщении #422000 писал(а):

Верно?

Нет. Например: Вы не находите несколько подозрительным, что Ваша плотность уходит на бесконечность в бесконечности?...

Разбираться во всех этих страстях лень, и в первую очередь потому, что крайне неудачно выбраны обозначения. Между тем всё просто. Пусть $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ и $Y=X^2$. Уравнение $y=x^2$ не имеет решений (относительно $x$) при $y<0$, и это означает, что там $f_Y(y)=0$. Если же $y>0$, то это уравнение имеет два решения: $x_1(y)=\sqrt{y}$ и $x_2(y)=-\sqrt{y}$. Соответственно, при положительных игреках

$f_Y(y)=f_X\big(x_1(y)\big)\cdot\big|x_1'(y)\big|+f_X\big(x_2(y)\big)\cdot\big|x_2'(y)\big|=$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(\sqrt{y})^2/2}\cdot\left|\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\right|+\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(-\sqrt{y})^2/2}\cdot\left|\dfrac{-1}{2\sqrt{y}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}.$

[mihalko1803]

Да, спасибо большое, я сам пересчитал, там у меня лишние члены возникали, потому что я при замене переменной не поменял значения пределов интегрирования, а они одинаковые получились.