Плотность вероятности функции случайной величины

[mihalko1803]

Есть плотность вероятности $x$ (по обычному нормальному закону с единичной дисперсией и нулевым мат. ожиданием), надо найти плотность вероятности $x^2$. Я так понимаю, что проще всего воспользоваться формулой $f_y(y) = f_x(\Psi(y)) |\Psi'(y)|$, так как новая функция монотонна от $x$, $\Psi(y) = \sqrt y$?

[PAV]

Совершенно понятно, что Вам бы очень хотелось назначить функцию $x^2$ монотонной и это бы сильно упростило Вашу жизнь, но против природы не попрешь. Она не монотонна. Так что "проще всего" не получится, начните с того, что непосредственно по определению найдите функцию распределения новой случайной величины.

[Gortaur]

Ололо Охохо, давайте распишу.

$$ F_{\xi^2}(x) = P\{\xi^2<x\} = P\{\xi\in(-\sqrt{x},\sqrt{x})\} = \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}... $$

В интеграл подставьте Сами-Знаете-Что.

$$ f_{\xi^2}(x) = \frac{d}{dx}F_{\xi^2}(x). $$

[--mS--]

Gortaur в сообщении #415698 писал(а):

Ололо Охохо, давайте распишу.

$$ F_{\xi^2}(x) = P\{\xi^2<x\} = P\{\xi\in(-\sqrt{x},\sqrt{x})\} = \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}... $$

Второе же равенство неверно, и в приличном месте его просто зачеркнут при проверке :). Да и интегралы тут лишние: зачем дифференцировать по параметру интегралы, если можно дифференцировать разность функций распределения?

[PAV]

--mS--
что-то я не въезжаю, к чему можно придраться во втором равенстве? Даже интересно.

-- Вт фев 22, 2011 21:26:38 --

Ну разве что два случая надо рассмотреть, это имеется в виду?

[--mS--]

PAV в сообщении #415834 писал(а):

--mS--
что-то я не въезжаю, к чему можно придраться во втором равенстве? Даже интересно.

Берём $x=-3$ и вуаля

[PAV]

Ну да, понятно. Я это и имел в виду под двумя случаями. Да, это правильно, конечно, надо писать аккуратнее.

[Gortaur]

И что будет при минус трех? Пустое множество (про комплексные числа ни слова не было сказано). Так что как всегда в приличных местах зачеркивать спешат.

Что же до разности функций распределения. Хм... дайте подумать. А не получатся ли там два интграл с корнями в верхнем/нижнем пределе? И какой тогда профит?

[ShMaxG]

Gortaur в сообщении #416028 писал(а):

И что будет при минус трех? Пустое множество (про комплексные числа ни слова не было сказано).

Но ведь у вас и про пустое множество ничего не сказано, если только Вы не подразумеваете под $\[\xi \in \left( { - \sqrt x ,\sqrt x } \right)\] $ пустое множество при отрицательных иксах. Все же без лишних "подразумеваний" я думаю так и рассмотреть два случая (хотя это громко сказано).

Gortaur в сообщении #416028 писал(а):

А не получатся ли там два интграл с корнями в верхнем/нижнем пределе? И какой тогда профит?

Ответ будет одинаковый. Но в одном случае приходится дифференцировать интеграл по параметру, а в другом -- сложную функцию. Типа последнее -- методологически (или методически, не знаю) проще. Наверно как-то так.

[Gortaur]

ShMaxG в сообщении #416096 писал(а):

или методически, не знаю

(Оффтоп)

Я тоже.

Что же до пустого множества - неужели первое, что придет на ум при виде данного интервала в контексте т.в. будут комплексные числа, а не пустое множество?

[ShMaxG]

Мне первое приходит на ум просто рассмотрение случаев. Больше писать? Зато грамотно.

[ewert]

mihalko1803 в сообщении #415638 писал(а):

Я так понимаю, что проще всего воспользоваться формулой $f_y(y) = f_x(\Psi(y)) |\Psi'(y)|$,

Это, между прочим, верное правило, но с одной очень существенной оговоркой. В немонотонном случае (когда функция $\Psi$ неоднозначна) справа должна стоять сумма нескольких слагаемых подобного вида -- по одному для каждого из возможных значений $x=\Psi(y)$ на данном уровне $y$. Ну а если на этом уровне пересечений вообще нет, то, соответственно, и складывается ноль слагаемых, т.е. плотность равна нулю.

[Gortaur]

ShMaxG
Грамотность - серьезный аргумент. Убедили.

[mihalko1803]

PAV в сообщении #415674 писал(а):

Совершенно понятно, что Вам бы очень хотелось назначить функцию $x^2$ монотонной и это бы сильно упростило Вашу жизнь, но против природы не попрешь. Она не монотонна. Так что "проще всего" не получится, начните с того, что непосредственно по определению найдите функцию распределения новой случайной величины.

Мне почему-то казалось, что в условии$x \geq 0$. Оказалось нет, попробую тогда по определению.

[--mS--]

mihalko1803 в сообщении #417909 писал(а):

Мне почему-то казалось, что в условии$x \geq 0$.

Это ж случайная величина с нормальным распределением.

З.Ы. Кстати, добрый абстрактный совет - различать буковки, которыми обозначаете случайные величины и действительные аргументы всяких функций. Поможет избежать многих проблем и путаницы.