Аффинные пространства. Задачки

[caxap]

В задачах пространство 4-мерное, система координат ортонормированная.

1. Найдите расстояния точки $(-1,3,5,1)$ от координатных осей, от координатных (2-мерных) плоскостей и от координатных гиперплоскостей.

Назовём координатные оси $Ox,Oy,Oz,Ot$.
а) Расстояние до оси $x$ будет $\|(0,3,5,1)\|$, до $y$ -- $\|(-1,0,5,1)\|$ и т. д.
б) До плоскости $Oxy$ -- $\|(0,0,5,1)\|$ и т. д. (Я верно понимаю, что 2-мерных координатных плоскостей будет 6: $Oxy$, $Oxz$, $Oxt$, $Oyz$, $Oyt$, $Ozt$?)
в) До плоскости $Oxyz$ -- $\|(0,0,0,1)\|=1$ и т. д. (Я верно понимаю, что координатных гиперплоскостей будет 4: $Oxyz$, $Oxyt$, $Oyzt$, $Oxzt$?)

2. Найдите условия, при которых прямая $\dfrac{x-x_0}{b_1}=\dfrac{y-y_0}{b_2}=\dfrac{z-z_0}{b_3}=\dfrac{t-t_0}{b_4}$ принадлежит гиперплоскости $a_1 x+a_2 y+a_3z+a_4t=\alpha$.

Из геометрических соображений: $(b_1,b_2,b_3,b_4)\perp (a_1,a_2,a_3,a_4)$, $a_1 x_0+a_2 y_0+a_3z_0+a_4t_0=\alpha$.

3. Напишите уравнение гиперсферы, имеющей центр в точке $(5,-1,4,0)$ и касающейся гиперплоскости $x-3y+z+5t=6$.

Нам нужно только найти радиус. Поделим уравнение гиперплоскости на $\|(1,-3,1,5)\|$ и перенесём правую часть влево -- получим нормальное уравнение. Подставим туда центр сферы и найдём норму -- это и будет радиус.

(По поводу аффинного пространства)

Везде о нём пишут по-разному. В учебнике Головиной (задачки оттуда) написано, что это "точечно-векторное пространство", то есть вект. пр-во (множество векторов) + множество точек таких, что каждому вектору поставлена в соответствие одна точка и выполняются некоторые аксиомы (напр. нулевому вектору поставлено в соответствие точка начала координат.) Я так понимаю, "обычное" пространство, которое изучают в аналитической геометрии (с системами координат, плоскостями, прямыми...) -- это аффинное пространство.

В учебнике Канатникова--Крищенко "обычное" пространство из анал. геометрии называется пространством свободных векторов. И является линейным пространством.

В некоторых учебниках аффинное пространство -- синоним векторного.

Википедия меня запутала окончательно:

Цитата:

Во многом схоже с векторным пространством, но в отличие от последнего, точки в аффинном пространстве являются равноправными. В частности в аффинном пространстве нет понятия нулевой точки или начала отсчёта.

То есть подразумевается, что точки есть и в векторном пространстве, но там фиксировано начало координат (откуда в лин. пр-ве "начало координат"?)

[Someone]

Вроде бы, верно.

М.М.Постников в лекциях, которые я слушал студентом, определял аффинное пространство как множество $M$, элементы которого называются точками, для которого задано линейное пространство $K$, причём, каждой упорядоченной паре точек $A,B\in K$ поставлен в соответствие вектор $\overrightarrow{AB}\in K$, и выполняются следующие условия:
1) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ для любых трёх точек $A,B,C\in M$;
2) для каждой точки $A\in M$ и каждого вектора $\vec c\in K$ существует единственная точка $B\in M$, для которой $\overrightarrow{AB}=\vec c$;

[BVR]

1/ Верно. А в общем случае, чтобы найти расстояние от точки до k-плоскости надо через точку провести (n-k)-плоскость ортогональную данной, найти точку их пересечения. Расстояние между найденной точкой и данной будет искомым.
2. Верно
3. В принципе, верно. Формула расстояния от точки до гиперплоскости почти такая же, как и от точки до плоскости в трёхмерном пространстве. Только координат в ней 4. Но Вы эту формулу и описываете, только после перенесения в левую часть надо взять модуль.

[ewert]

caxap в сообщении #397414 писал(а):

Я так понимаю, "обычное" пространство, которое изучают в аналитической геометрии (с системами координат, плоскостями, прямыми...) -- это аффинное пространство.

Если отвлечься от всяких абстрактностей, то аффинное пространство -- это просто сумма некоторого векторного пространства и одного фиксированного вектора, не лежащего в этом пространстве. Аккуратнее говоря: в объемлющем векторном пространстве большей размерности рассматривается сумма некоторого линейного подпространства и вектора, не лежащего в этом подпространстве.

caxap в сообщении #397414 писал(а):

То есть подразумевается, что точки есть и в векторном пространстве, но там фиксировано начало координат (откуда в лин. пр-ве "начало координат"?)

Любой вектор мы имеем полное право назвать точкой (но не наоборот) -- это лишь вопрос терминологии. В линейном пространстве роль "начала координат" играет нулевой вектор. В аффинном пространстве нулевого вектора нет, поскольку непосредственно в нём вообще нет линейных операций (они есть лишь в "присоединённом" к нему векторном пространстве). Например, гиперплоскость не содержит начала координат именно потому, что получается линейным сдвигом некоторого линейного подпространства, т.е. некоторой гиперплоскости, проходящей через начало координат.

[caxap]

ewert в сообщении #397480 писал(а):

Нет, конечно. Т.е. это действительно одно из условий, но явно недостаточное. Ведь прямая однозначно проводится по двум точкам и, значит, требуются два условия. Надо бы кое-что добавить.

Но ведь прямую можно задать и с помощью 1 точки + направляющего вектора. Я условием $(b_1,b_2,b_3,b_4)\perp (a_1,a_2,a_3,a_4)$ говорю, что направляющий вектор прямой параллелен гиперплоскости, а $a_1 x_0+a_2 y_0+a_3z_0+a_4t_0=\alpha$ -- что прямая и плоскость имеют одну общую точку. (Тут, правда, осложняется тем, что гиперплоскость 3-мерна. Представить я такое не умею. Вы не можете привести пример, когда оба моих условия выполняются, но не вся прямая лежит в гиперплоскости?)

[ewert]

caxap в сообщении #397523 писал(а):

Но ведь прямую можно задать и с помощью 1 точки + направляющего вектора.

Прошу прощения, я просто невнимательно прочитал. Да, конечно.

[caxap]

ewert, ясно.

-----------

Someone в сообщении #397439 писал(а):

М.М.Постников в лекциях,

Головина определяет так же. То есть линейное пр-во + множество "точек". Векторы и точки связаны так, как вы написали.

ewert в сообщении #397480 писал(а):

аффинное пространство -- это просто сумма некоторого векторного пространства и одного фиксированного вектора, не лежащего в этом пространстве.

Такое определения я тоже видел. По-моему, приведённые два определения разные.

ewert в сообщении #397480 писал(а):

Любой вектор мы имеем полное право назвать точкой...
гиперплоскость не содержит начала координат именно потому, что получается линейным сдвигом некоторого линейного подпространства, т.е. некоторой гиперплоскости, проходящей через начало координат.

В Головиной векторное и точечно-векторное (= аффинное) пр-во разделяются. И, например, мн-во всех векторов в векторном пр-ве, удовлетворяющих неоднородной СЛАУ $Ax=b$ называется линейным многообразием. А мн-во всех точек в аффинном пр-ве, удовлетворяющих той же СЛАУ, называется $k$-мерной плоскостью ($k$ -- разница между числом переменных в СЛАУ и рангом $A$).

-------------
А вот как вообще можно назвать то пространство, которое изучается в анал. геометрии: с точками, свободными векторами, плоскостями, прямыми, поверхностями и т.д.?

[ewert]

caxap в сообщении #397536 писал(а):

Такое определения я тоже видел. По-моему, приведённые два определения разные.

Формально разные, но фактически они эквивалентны. Т.е. ясно: то, что я написал -- это частный случай абстрактного аффинного пространства. Но и обратно: любое абстрактное аффинное пространство может быть реализовано описанной мною моделью. Пусть $A$ -- произвольное аффинное пространство и $K$ -- присоединённое ему векторное. Берём в качестве расширенного векторного пространства декартово произведение $\widetilde K=K\times E$ (где $E$ -- одномерное векторное пространство над тем же полем) с естественным образом доопределёнными линейными операциями. Фиксируем в $E$ любой его ненулевой вектор $\vec e$ и в аффинном пространстве $A$ -- любую его точку $a$. И сопоставляем произвольной точке $b\in A$ пару $(\vec u,\vec e)\in\widetilde K$ по правилу: $\vec u$ -- это тот (единственный) вектор из $K$, который соответствует паре точек $a,b$ из $A$. Полученное соответствие -- это изоморфизм между исходным $A$ и линейным подмножеством $\{(\vec 0,\vec e)\}+(K\times\{\vec 0\})\subset\widetilde K$ (второе слагаемое -- это подпространство $\widetilde K$, линейно изоморфное исходному $K$). Т.е. это биекция, причём сохраняющая аффинную структуру.

Как-то так. Я деталей не помню, да и, кажется, никогда этого и не учил.

caxap в сообщении #397536 писал(а):

В Головиной векторное и точечно-векторное (= аффинное) пр-во разделяются.

Я ж говорил, что это всего лишь вопрос выбора терминологии, т.е., в общем-то, дело вкуса. Вектор можно назвать точкой просто потому, что "точка" -- это полужаргонный синоним термина "элемент" вообще. Обратное неверно: "векторы" -- это не просто "элементы", но элементы, связанные некоторой определённой (линейной) структурой.

[caxap]

(Оффтоп)

Вот тут понятно написано. Кто-нибудь может посоветовать хороший учебник по лин. алгебре примерно с таким же стилем изложения?

4. Пересечением гиперсферы $(x-5)^2+y^2+(z+5)^2+(t-2)^2=25$ и гиперплоскости $7x-5y+z+5t=20$ есть некоторая сфера 3-мерного пространства. Найдите её центр и радиус.

Сделаем нормальное уравнение гиперплоскости и по нему найдём расстояние $s$ от центра гиперсферы $(5,0,-5,2)$ до этой гиперплоскости. Затем по теореме Пифагора (которая справедлива в любом евклидовом пространстве), радиус искомой 2-мерной сферы будет $R=\sqrt{5-s^2}$. Центр этой сферы получится, если прибавит к $(5,0,-5,2)$ вектор $R\vec n_0$, где $\vec n_0$ -- орт вектора $\vec n=(7,-5,1,5)$.

5. Напишите уравнение гиперплоскости, проходящей через двумерную плоскость

$$\begin{cases}x-2y+3z+5t=2\\3x-y-z+2t=3\end{cases}$$

и а) проходящую через точку $(2,5,-3,0)$;
б) ортогональную гиперплоскости $2x+y+4z-t=5$.

а) Тут у меня сомнения. Возможно, следует найти фундаментальную систему решений указанной СЛАУ; соответствующая 2-плоскость будет линейной оболочкой этих векторов. Потом взять ещё один вектор: один конец которого -- любая точка 2-плоскости, а другой -- $(2,5,-3,0)$. Получим 3 линейно-независимых вектора (т.к. $(2,5,-3,0)$ не принадлежит указанной 2-плоскости). Линейная оболочка их будет искомая гиперплоскость.

(С числами)

Заданная 2-плоскость будет $\operatorname{span}\{(1,2,0,1),(6,12,5,1)\}$. Третий вектор, например: $(1,2,0,1)-(2,5,-3,0)=(-1,-3,3,1)$. Затем находим ортогональное дополнение к линейной оболочке из этих 3-х векторов -- получим $\mathrm{span}\,\{(-11,5,1,1)\}$. То есть искомая гиперплоскость будет $-11x+5y+z+t=0$ (справа 0?).

Нельзя ли решить проще?
б) Здесь как в а), но в качестве 3-го вектора берём $(2,1,4,-1)$. Получается уравнение $-5x+y+3z+3t=0$ (не уверен, что справа 0). Тот же вопрос: нельзя ли проще?

[ewert]

caxap в сообщении #397637 писал(а):

если прибавит к $(5,0,-5,2)$ вектор $R\vec n_0$, где $\vec n_0$ -- орт вектора $\vec n=(7,-5,1,5)$.

В принципе верно, но только не $R$ же, конечно.

caxap в сообщении #397637 писал(а):

Получим 3 линейно-независимых вектора (т.к. $(2,5,-3,0)$ не принадлежит указанной 2-плоскости). Линейная оболочка их будет искомая гиперплоскость.

Идея-то правильная. Только она даёт пока что только вектор нормали. А где точка привязки?...

[caxap]

ewert в сообщении #397666 писал(а):

но только не $R$ же, конечно.

Ой, я хотел написать $s$. Спасибо за проверку.

ewert в сообщении #397666 писал(а):

Идея-то правильная.

То есть проще нельзя?

ewert в сообщении #397666 писал(а):

А где точка привязки?...

А $(2,5,-3,0)$ не точка привязки? Там наверное надо было написать уравнение гиперплоскости в виде $-11x+5y+z+t=c$ и найти $c$, подставив точку $(2,5,-3,0)$. Получим $c=0$.

[ewert]

caxap в сообщении #397679 писал(а):

Там наверное надо было написать уравнение гиперплоскости в виде $-11x+5y+z+t=c$ и найти $c$, подставив точку $(2,5,-3,0)$.

Да, ровно так и надо было, а цифирки я не проверял. И проще -- точно никак.

Да, и выбирайте выражения, пожалуйста, когда вращаетесь в приличном обществе. Говорить "линейная оболочка векторов есть гиперплоскость" -- это, знаете ли, чревато.

[caxap]

ewert в сообщении #397691 писал(а):

Да, ровно так и надо было,

Спасибо. Только я там напутал кое-что: я находил фундаментальную систему неоднородной СЛАУ как однородной, на самом деле 2-плоскость, задаваемая СЛАУ, будет определятся множеством $\mathrm{span}\,\{(1,2,1,0),(1,13,0,5)\}+(1,2,0,1)$. Тогда в а) уравнение будет $55x-25y-5z+54t=59$, а в б) $32x-9y-14z+17t=31$. Теперь вроде всё сходится

ewert в сообщении #397691 писал(а):

Говорить "линейная оболочка векторов есть гиперплоскость" -- это, знаете ли, чревато.

А как надо?

[ewert]

caxap в сообщении #397710 писал(а):

я находил фундаментальную систему неоднородной СЛАУ как однородной,

А ровно это и надо было: направляющие векторы 2-плоскости -- это и есть фундаментальная система решений однородной системы, и именно она Вам дальше нужна для ортогонализации. Другое дело, что для нахождения третьего вектора нужно всё-таки какое-нибудь решение именно неоднородной системы.

caxap в сообщении #397710 писал(а):

А как надо?

Гиперплоскость -- это аффинное подпространство. Линейная же оболочка -- это линейное подпространство, параллельное (в данном случае) аффинному, т.е., говоря формально, присоединённое к нему, т.е., говоря по существу, отличающееся от него (в рамках объемлющего четырёхмерного пространства) на постоянное слагаемое.

[caxap]

Ага, спасибо. Последняя:

6. Пусть в $n$-мерном аффинном пространстве даны $n$ попарно ортогональных векторов одинаковой длины $a_1,\ldots,a_n$. Тогда натянутым на них кубом называется множество векторов вида $\alpha_1 a_1+\ldots+\alpha_n a_n$, где $0\le \alpha_i\le 1$. $k$-мерная грань куба -- это множество таких его точек, для которых $n-k$ из коэффициентов $\alpha_i$ принимают постоянные значения $0$ или $1$. Найдите:

a) число $k$-мерных граней $n$-мерного куба.

Нужно из $n$ альф выбрать $n-k$ и для каждой выбранной будет два варианта установки -- $0$ и $1$. То есть число $k$-мерных граней будет $\binom {n}{n-k}\cdot 2^{n-k}$. (Для 3-мерного куба сходится: для $k=0,1,2,3$ будет соотв. $8,12,6,1$ грань.)

б) угол между диагональю куба (т. е. вектором $a_1+\cdots+a_n$) и его ребром $a_j$.

$\displaystyle \arccos \frac{a_j\cdot \sum a_i}{\|a_j\|\cdot \left\|\sum a_i\right\|}=\arccos\frac{\|a_j\|}{\left\|\sum a_i\right\|}$. Так как длины всех $a_i$ равны (пусть $a$), получаем $\arccos \dfrac{a}{\sqrt{na^2}}=\arccos\dfrac 1{\sqrt{n}}$. (Напр. для 2-куба будет $\pi/4$.)

в) угол между диагональю куба и его $k$-мерной гранью.

А вот тут я что-то не соображу

(Оффтоп)

ewert в сообщении #397723 писал(а):

Гиперплоскость -- это аффинное подпространство...

А можно сказать "плоскость, соответствующая линейному многообразию $\mathrm{span}\,\{a_1,a_2\}+a_3$ ..."?