Аффинные пространства. Задачки

[ewert]

caxap в сообщении #397739 писал(а):

в) угол между диагональю куба и его $k$-мерной гранью.
А вот тут я что-то не соображу

А чего тут соображать-то?... Просто комбинация набора ключевых положений.

1). Любая грань -- это аффинное подпространство, и угол между вектором и гранью -- это угол между вектором и присоединённым к тому аффинному линейным, ибо сдвиг на угол не влияет.

2). Любое из упомянутых линейных подпространств -- это попросту линейная оболочка каких-либо $k$ базисных векторов.

3). Угол между вектором и неким линейным подпространством -- это просто угол между тем вектором и его проекцией на то подпространство (это практически по определению; смотря что считать определением, но все разумные варианты равносильны).

4). Проекция вектора на подпространство -- это сумма ортогональных проекций вектора на базисные элементы того подпространства при условии, конечно, что те базисные элементы ортонормированы. Ну а они тут автоматически ортонормированы, раз уж речь о гранях.

Ну и наконец. В силу симметрии задачи -- эта сумма считается вполне тривиально.

caxap в сообщении #397739 писал(а):

А можно сказать "плоскость, соответствующая линейному многообразию $\mathrm{span}\,\{a_1,a_2\}+a_3$ ..."?

Можно.

(ну в смысле я разрешаю, для меня тут если и найдётся чего нехорошего, то будет не более чем ловлей блох; может, кто другой и возмутится)

-- Пн янв 10, 2011 22:55:51 --

Да, пыс. Предыдущие выкладки -- у меня никаких негодований не вызвали.

[caxap]

ewert в сообщении #397838 писал(а):

Проекция вектора на подпространство -- это сумма ортогональных проекций вектора на базисные элементы того подпространства при условии, конечно, что те базисные элементы ортонормированы.

А. Тогда, получается, косинус угла будет (тут $a=\|a_i\|$):

$$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot \sum\limits_{i=1}^k a_i}{\|\cdots\|\cdot\|\cdots\|}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^k a_i^2}{\sqrt {na^2}\cdot \sqrt{k a^2}}=\dfrac{ka^2}{\sqrt {na^2}\cdot \sqrt{k a^2}}=\dfrac {\sqrt k}{\sqrt n}$$

Вроде бы всё нормально: при $k=1$ приходим к задаче б), а при $n=3$, $k=2$ косинус равен $\sqrt{2}/\sqrt{3}$. (Интересно: угол между диагональю и гранями стремится к нулю при увеличении размерности куба. Для квадрата наибольший угол (с гранью самой большой размерности) -- $45^\circ$, тессеракта -- $30^\circ$, а для 100-куба -- $\approx 6^\circ$ )

ewert в сообщении #397838 писал(а):

Да, пыс. Предыдущие выкладки -- у меня никаких негодований не вызвали.

Спасибо за проверку!

[caxap]

Оставлю как объявление

caxap в сообщении #397637 писал(а):

Вот тут понятно написано. Кто-нибудь может посоветовать хороший учебник по лин. алгебре примерно с таким же стилем изложения?