группа вращений правильного тетраэдра

[flame19]

объясните, пожалуйста, почему группа вращений правильного тетраэдра не является циклической???
я знаю, что группа состоит из 12 элементов, но не могу понять почему она не циклическая...

[vvvv]

Потому что группа тетраэдра имеет две образующие, а циклическая группа имеет одну образующую.

[flame19]

vvvv в сообщении #394654 писал(а):

Потому что группа тетраэдра имеет две образующие, а циклическая группа имеет одну образующую.

ааа.... а можно спросить, как Вы это поняли???

[Null]

Она не коммутативна.

[flame19]

Null в сообщении #394658 писал(а):

Она не коммутативна.

т.е. пусть а-одно вращение, b- какое-то другое, и если мы применим ab, то результат этого действия будет отличен от ba??? если я правильно поняла....((

[Null]

Да, например если это повороты вокруг разных высот.

[vvvv]

flame19 в сообщении #394656 писал(а):

vvvv в сообщении #394654 писал(а):

Потому что группа тетраэдра имеет две образующие, а циклическая группа имеет одну образующую.

ааа.... а можно спросить, как Вы это поняли???

Это я прочитал - таково определение циклической группы.
А образующие у группы вращений тетраэдра - это ращение вокруг одной из высот и вокруг одной из медиан.Соответствено на 120 гадусов
и на 180 градусов.

[flame19]

спасибо большое!!!)))

[VAL]

Добавлю еще пару "потому что".

Легко видеть, что в группе вращений тетраэдра 8 элементов порядка 3 (нетривиальные вращения вокруг высот), 3 элемента порядка 2 (повороты на 180 градусов вокруг бимедиан) и 1 элемент порядка 1 (тождественное преобразование). И, значит, нет элементов порядка 12.

не менее очевидно, что группа вращений тетраэдра изоморфна знакопеременной группе $A_4$ (достаточно проследить, куда переходят вершины), а она не абелева.

[flame19]

спасибо!) оказывается всё не так страшно как казалось...)