Рассмотрим уравнение
(1)

,
где

и

.
Обозначим

, откуда

, тогда имеем:

.
Разложим

по формуле бинома Ньютона, получим

или

,
где

некоторый многочлен.
Учтем, что

и

, получим
(2)

.
Допустим, что

и

в формуле (2)
имеют общий делитель

и

.
Значит, и

делится на

, поскольку

- простое число.
Тогда

, откуда

и

.
В этом случае ур-е (1) имеет не основное решение.
Таким образом, если

кратен

то имеем:
(3)

(4)

Заметим, что в ур-и (4) правая часть при

имеет значение

,
т. к. количество членов в правой части равно

и каждый член имеет значение

, т. к. он является квадратом.
Отсюда следует, что если

, то в уравнении (1)

кратен

.
Докажем, что если

кратен

, то уравнение (1) не имеет решения в целых числах.
Рассмотрим уравнение
(5)

,
где

- четные числа,

- нечетные числа.
Как известно, все решения этого уравнения в рациональных числах, имеют вид:

,

.
Из уравнения (5) следует, что уравнение

,
где

- целые числа, имеет следующие решения в рациональных числах
(6)

.
Вернемся к уравнению (1).
Имеем

Отсюда
(7)

.
Аналогично
(8)

.
Уравнения (7) и (8) - это уравнения вида (5).
Поэтому, с учетом формул (6), подразумевая под неизвестными

их рациональные значения, имеем из (7)

.
Из (8) имеем

.
Учитывая, что

, получим

.
Тогда
(9)

,
где

- некоторый многочлен.
Заметим, что

кратен

.
Из формулы (3) имеем, что

кратно

.
Отсюда

или

кратно

, то есть

и

или

и

.
В любом случае из формулы (9) имеем, что

кратно

.
В этом случае

кратно

. Значит,

и

также кратны

.
Таким образом, уравнение (1) не имеет решения в целых числах.
-- Вт дек 28, 2010 18:07:17 --Рассмотрим уравнение
(1)

,
где

и

.
Обозначим

, откуда

, тогда имеем:

.
Разложим

по формуле бинома Ньютона, получим

или

,
где

некоторый многочлен.
Учтем, что

и

, получим
(2)

.
Допустим, что

и

в формуле (2)
имеют общий делитель

и

.
Значит, и

делится на

, поскольку

- простое число.
Тогда

, откуда

и

.
В этом случае ур-е (1) имеет не основное решение.
Таким образом, если

кратен

то имеем:
(3)

(4)

Заметим, что в ур-и (4) правая часть при

имеет значение

,
т. к. количество членов в правой части равно

и каждый член имеет значение

, т. к. он является квадратом.
Отсюда следует, что если

, то в уравнении (1)

кратен

.
Докажем, что если

кратен

, то уравнение (1) не имеет решения в целых числах.
Рассмотрим уравнение
(5)

,
где

- четные числа,

- нечетные числа.
Как известно, все решения этого уравнения в рациональных числах, имеют вид:

,

.
Из уравнения (5) следует, что уравнение

,
где

- целые числа, имеет следующие решения в рациональных числах
(6)

.
Вернемся к уравнению (1).
Имеем

Отсюда
(7)

.
Аналогично
(8)

.
Уравнения (7) и (8) - это уравнения вида (5).
Поэтому, с учетом формул (6), подразумевая под неизвестными

их рациональные значения, имеем из (7)

.
Из (8) имеем

.
Учитывая, что

, получим

.
Тогда
(9)

,
где

- некоторый многочлен.
Заметим, что

кратен

.
Из формулы (3) имеем, что

кратно

.
Отсюда

или

кратно

, то есть

и

или

и

.
В любом случае из формулы (9) имеем, что

кратно

.
В этом случае

кратно

. Значит,

и

также кратны

.
Таким образом, уравнение (1) не имеет решения в целых числах.