Помогите разобраться с уравнением Эйлера

[Sverest]

В методичке разобрано одно задание по вариационному исчислению, много моментов мне непонятны:

Задание найти экстремали функционала
$I[y(x)]=\int_{a}^{b}(y^2+y'^2+2ye^x+x^5)dx$

Решение

Уравнение Эйлера $F_y-\frac {d}{dx}F_{y'}$
$F(x;y;y')=y^2+y'^2+2ye^x+x^5$
$F_y=2y+2e^x$ (Здесь непонятно откуда взяли $F_y$, сначала думал, что это производная членов в которых есть $y$, но потом нашел производную и понял что это не то).
$F_{y'}=2y'$ (Здесь тоже непонятно).

Составляем уравнение Эйлера: $2y+2e^x-\frac {d}{dx}(2y')$
$2y+2e^x-2y''=0$
$y''-y=e^x$
$y_{o.n.}=y_{o.o}+y_{ch.n}$ (Здесь я не понял откуда взялось это уравнение и что обозначают его члены)

Составляем характеристическое уравнение

$k^2-1=0$ (Что такое характеристическое уравнение, откуда оно взялось)
$k=\pm 1$
$y_{o.o.}=С_1e^x+C_2e^-x$ (То что это непонятно видимо связано с тем, что я не понял характеристическое уравнение)

Найдем частное неоднородное решение (Видимо ч.н., это и обозначало)
$f(x)=e^x$ (может здесь просто можно поставить любую функцию, которая придет в голову?)
$\alpha=1 $ - является однократным корнем характеристического уравнения (Что за $\alpha$, откуда она, как они это получили?)
$y_{ch.n.}=Axe^x$
$y'_{ch.n.}=Ae^x+Axe^x$
$y''_{ch.n.}=Ae^x+Ae^x+Axe^x$ (эти три уравнения тоже непонятно откуда)

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение
$Ae^x+Ae^x+Axe^x-Axe^x=e^x$ (Наверно это какой то хитрый метод)
$2Ae^x=e^x$
$A=\frac12$

Тогда
$y_{ch.n.}=\frac12 xe^x$ и
$ y_{o.n.}=C_1 e^x +C_2 e^{-x}+\frac12 xe^x$
семейство экстремалей (Как интересно они так делают!?)

[ИСН]

Погодите с уравнением Эйлера. Разберитесь сначала с обычными диффурами, а то получается "нашёл методичку по управлению истребителем, готов лететь, только непонятно, что такое закрылки, сколько это - число Маха, и зачем нужен керосин".

[Мироника]

Sverest в сообщении #390449 писал(а):

$F_y=2y+2e^x$ (Здесь непонятно откуда взяли $F_y$, сначала думал, что это производная членов в которых есть $y$, но потом нашел производную и понял что это не то).
$F_{y'}=2y'$ (Здесь тоже непонятно).

Это и есть производные. Они берутся отдельно по $y$ и $y'$

[paha]

все, что Вам нужно -- это научиться вычислять производные и открыть любой учебник по дифурам

[Мироника]

А дальше стандартная теория решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Открывайте любой учебник по дифурам

[Sverest]

Мироника в сообщении #390459 писал(а):

Sverest в сообщении #390449 писал(а):

$F_y=2y+2e^x$ (Здесь непонятно откуда взяли $F_y$, сначала думал, что это производная членов в которых есть $y$, но потом нашел производную и понял что это не то).
$F_{y'}=2y'$ (Здесь тоже непонятно).

Это и есть производные. Они берутся отдельно по $y$ и $y'$

понимаю что $2y$ это $(y^2)'$, но откуда взялось $2e^x$, ведь $(2ye^x)' \ne 2e^x$

[Joker_vD]

$F_y = (y^2+y'^2+2ye^x+x^5)_y=$ $(y^2)_y + (y'^2)_y + (2ye^x)_y + (x^5)_y =$ $2y + 0 + 2e^x + 0 =$ $2y + 2e^x$

[ИСН]

Sverest в сообщении #390614 писал(а):

но откуда взялось $2e^x$, ведь $(2ye^x)' \ne 2e^x$

Да ну? А чему же оно тогда равно?

[Алексей К.]

$(2ye^x)'_{\color{magenta} y} = 2e^x$ тчк

[Sverest]

Joker_vD в сообщении #390620 писал(а):

$F_y = (y^2+y'^2+2ye^x+x^5)_y=$ $(y^2)_y + (y'^2)_y + (2ye^x)_y + (x^5)_y =$ $2y + 0 + 2e^x + 0 =$ $2y + 2e^x$

Что значит индекс $y$ в $F_y$, это значит, что $x$ рассматриваем как любое число?

ИСН в сообщении #390627 писал(а):

Sverest в сообщении #390614 писал(а):

но откуда взялось $2e^x$, ведь $(2ye^x)' \ne 2e^x$

Да ну? А чему же оно тогда равно?

Я наверно неправильно считал $(2ye^x)'=2((y)'e^x+y(e^x)')$

[ИСН]

Вы вот этим вот символом: '
что обозначаете?

[Gortaur]

В данной формуле присутствует некий формализм - а именно, Вы считаете $x,y,y'$ независимыми переменными чтобы придти к формуле Эйлера.

[Sverest]

ИСН в сообщении #390658 писал(а):

Вы вот этим вот символом: '
что обозначаете?

Производную например $(y^2)'=2y$ в таблицах производных же так написано.

Gortaur в сообщении #390662 писал(а):

В данной формуле присутствует некий формализм - а именно, Вы считаете $x,y,y'$ независимыми переменными чтобы придти к формуле Эйлера.

Извините, но я не знаю, что такое формализм.

[ИСН]

Забейте на этого смутьяна, он всегда говорит непонятные слова.
Производную по чему? Чему тогда равно $1'$? А $x'$?

[Sverest]

ИСН в сообщении #390670 писал(а):

Производную по чему? Чему тогда равно $1'$? А $x'$?

$1'=0$ $x'=1$
Как понять "производная по чему" просто по таблице, или я не так понял?