Исследование линии 2-го порядка

[p4elka1986]

Здравствуйте!
Задача.
Упростить уравнение квадрики $5x^2 + 4xy + 8y^2 + 8x + 14y + 5 = 0$ и определить ее вид. Сделать схематический чертеж.
$A = 5$
$B = 2$
$C = 8$
$D = 4$
$E= 7$
$F = 5$
Начинаю искать угол поворота осей координат, как нас учили, $Btg^2\alpha - (A - C)tg\alpha - B = 0$
Получается $2tg^2\alpha - 3tg\alpha - 2 = 0$
Корни: $tg_1\alpha = - 0.5$
$tg_2\alpha = 2$
Все, у меня тупик. Не могу вычислить $\alpha$. И дальше решение не идет.
Помогите, пожалуйста.

[paha]

p4elka1986 в сообщении #388272 писал(а):

Все, у меня тупик. Не могу вычислить $\alpha$

Вам этого делать не надо. Достаточно найти синус и косинус этого угла.

[p4elka1986]

Как найти? У меня не получается, я уж и так и эдак замещала, ничего путного пока не получилось.

[paha]

p4elka1986 в сообщении #388400 писал(а):

Как найти? У меня не получается, я уж и так и эдак замещала, ничего путного пока не получилось.

ну, если $\sin\alpha=2\cos\alpha$, можно же их найти

[neo66]

p4elka1986 в сообщении #388272 писал(а):

Упростить уравнение квадрики $5x^2 + 4xy + 8y^2 + 8x + 14y + 5 = 0$ и определить ее вид.

А Вы сами попробуйте придумать, как это можно сделать. Это нетрудно. Подберите сначала такую замену переменных, то есть $a$ и $b$, $x=x_1+a, y=y_1+b$, чтобы исчезли линейные члены. Это соответствует параллельному переносу. Наша форма будет иметь вид

$$5x_1^2+ 4x_1y_1+8y_1^2+d=8(y_1^2+\frac 1 2 x_1y_1 +\frac{1}{16}x_1^2)-\frac 1 2 x_1^2 +5 x_1^2+d=8(y_1+\frac 1 4 x_1)^2 +4.5x_1^2+d$$

Отсюда уже видно, что это эллипс.

[p4elka1986]

paha в сообщении #388405 писал(а):

p4elka1986 в сообщении #388400 писал(а):

Как найти? У меня не получается, я уж и так и эдак замещала, ничего путного пока не получилось.

ну, если $\sin\alpha=2\cos\alpha$, можно же их найти

почему $\sin\alpha=2\cos\alpha$?
Разве не $2 sin\alpha = - cos\alpha$?

Все равно не выходит у меня.. докопалась в итоге только до варианта $\sqrt 5 sin(\alpha + arcsin{\frac{\sqrt 5}5})$.

Кажется, что $\alpha = \frac{5\pi}6$ (приблизительно), может я неверно мыслю?
В общем до угла не докопалась.

-- Сб дек 18, 2010 06:06:48 --

neo66 в сообщении #388417 писал(а):

А Вы сами попробуйте придумать, как это можно сделать. Это нетрудно. Подберите сначала такую замену переменных, то есть $a$ и $b$, $x=x_1+a, y=y_1+b$, чтобы исчезли линейные члены. Это соответствует параллельному переносу. Наша форма будет иметь вид

$$5x_1^2+ 4x_1y_1+8y_1^2+d=8(y_1^2+\frac 1 2 x_1y_1 +\frac{1}{16}x_1^2)-\frac 1 2 x_1^2 +5 x_1^2+d=8(y_1+\frac 1 4 x_1)^2 +4.5x_1^2+d$$

Отсюда уже видно, что это эллипс.

Нас учили сначала находить угол, а дальше уже $A^'$, $B^'$..., $x^'$, $y^'$ Затем довести до полного квадрата, канонический вид, определить координаты и постоить график. По другому не умею, хотя наверное стоит попытаться, но вопрос с углом...

[p4elka1986]

paha в сообщении #388405 писал(а):

ну, если $\sin\alpha=2\cos\alpha$, можно же их найти

все, поняла, я изначально не тот тангенс взяла.

[paha]

p4elka1986 в сообщении #388635 писал(а):

почему $\sin\alpha=2\cos\alpha$?
Разве не $2 sin\alpha = - cos\alpha$?

оба этих варианта правильные и приведут к главным осям
из них надо будет выбрать такой, чтобы эллипс имел канонический вид, а именно чтобы полуось по $OX$ была больше полуоси по $OY$

[p4elka1986]

paha в сообщении #388673 писал(а):

оба этих варианта правильные и приведут к главным осям
из них надо будет выбрать такой, чтобы эллипс имел канонический вид, а именно чтобы полуось по $OX$ была больше полуоси по $OY$

у меня с $tg\alpha = - \frac12$ получается мнимый эллипс ($F^''$ меньше 0)

А если беру $tg\alpha = 2$, то большая полуось приходится на новую ось ОY.

[paha]

p4elka1986 в сообщении #389036 писал(а):

у меня с $tg\alpha = - \frac12$ получается мнимый эллипс ($F^''$ меньше 0)

пересчитайте еще раз

[p4elka1986]

можно падать и не вставать, через пару ночей начались проблемы с арифметикой, уже поняла
пересчитываю.

[p4elka1986]

Итак, у меня все равно выходит мнимый эллипс. Не понимаю, в чем ошибка...
1 случай: $tg\alpha = - \frac12$
$sin\alpha = - \frac1{\sqrt 5}$
$cos\alpha = \frac2{\sqrt 5}$

${A^'} = 4$
${B^'} = 0$
${C^'} = 9$
${D^'} = \frac1{\sqrt 5}$
${E^'} = \frac{18}{\sqrt 5}$
${F^'} = 5$
Тогда здесь ${F^''} = - \frac94$
2 случай: $tg\alpha = 2$
$sin\alpha = \frac2{\sqrt 5}$
$cos\alpha = \frac1{\sqrt 5}$

${A^'} = 9$
${B^'} = 0$
${C^'} = 4$
${D^'} = \frac{18}{\sqrt 5}$
${E^'} = - \frac1{\sqrt 5}$
${F^'} = 5$
Тогда здесь ${F^''} = - \frac94$

[Ubu]

$5x^2 + 4xy + 8y^2 + 8x + 14y + 5 = 0

составляем и решаем характ. ур.-ие:

$t^2 - (5+8)t + (5*8-2*2)=0$
$t_1 = 9$
$t_2 = 4$

находим базисы новой сист. координат: (поворот, избавляемся от 4xy)

$\left( \begin{array}{cc} 5 - t_1 & 2 \\ 2 & 8 - t_1 \end{array} \right)$$\left( \begin{array}{cc} a_1\\ b_1 \end{array} \right)=0$

$\left( \begin{array}{cc} 5 - t_2 & 2 \\ 2 & 8 - t_2 \end{array} \right)$$\left( \begin{array}{cc} a_2\\ b_2 \end{array} \right)=0$


$C$ $ = \left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array} \right)$
- получили матрицу перехода от нештрихованного базиса к штрихованному.

$\left( \begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right) = C * \left( \begin{array}{cc} x^' \\ y^' \end{array} \right)$
=>
$x = ... $
$y = ... $

Подставляем, получаем:

$t_1x^'2 + t_2y^'2 + ... = 0$
Далее сдвиг:

$x^'=x^'' + a$
$y^'=y^'' + b$
подбираем a, b так, чтобы коэф. при x^'' и y^'' были нулевые.

Получили каноническое ур.-ие и переход к канонич. сист. координат.

Вроде получается: (считал быстро, проверьте)

$$\frac{x^''2}{9/16}} + \frac{y^''2}{1/16}} = 1 $$

[paha]

p4elka1986 в сообщении #389044 писал(а):

Итак, у меня все равно выходит мнимый эллипс

все прекрасно: перенесите $F$ в правую часть

[p4elka1986]

paha
спасибо, ох уж эта арифметика))) нет, чтоб я раньше это увидела!

Ubu
Спасибо, сложно пока для моего понимания))
таким я еще не занималась, делаю, как учат.

у меня получилось

$$\frac{x^''2}{9/16}} + \frac{y^''2}{1/4}} = 1 $$

Спасибо всем огромное за терпение и помощь!