Как развить >3-мерную интуицию?

[Mathusic]

arseniiv в сообщении #385905 писал(а):

Случайно тут не напортачил?..

А по нуль-мерному пр-ву, получается, пересечение невозможно?
И что такое $N$, уточните. Вы имеете ввиду $n+m=N$? Но можно же и рассматривать, например, плоскость двумерную и прямую в контексте 4-го пр-ва, в то время, как вместе они будут порождать всего лишь трёхмерное.

[Munin]

arseniiv в сообщении #385901 писал(а):

Получиться должно (надеюсь, не спутаю), что два подпространства размерности $m$ и $n$ могут пересечением давать подпространство размерности от $\max \{|m - n|, N\}$ до $\min \{m, n\}$ включительно с обоих концов, так?

Минимальное подпространство пересечение - пустое множество. Вы рассматриваете однородные СЛАУ (подпространства, проходящие через начало координат), а в общем случае это не так. Пример: прямая, параллельная плоскости, в 3D. Такое возможно всегда, когда $m<N\wedge n<N.$ А вообще, я первой вашей формулы вообще не понял. Как она работает, например, для двух плоскостей в 3D?

Общий рецепт такой: работайте формулами с произвольной размерностью, но проверяйте на "геометрический смысл" ваши соображения в привычных размерностях 2-3. Правда, остерегайтесь случаев, когда понижение размерности приводит к качественным изменениям, но о них вы обычно знаете заранее из формул. Например, кривизна 4-мерного пространства принципиально богаче кривизны 2-мерного и 3-мерного (появляются компоненты тензора Римана со всеми разными индексами).

[arseniiv]

(2 Munin)

Munin в сообщении #385909 писал(а):

Кстати, вращение в размерности $\geqslant 4$ в общем случае непериодическое

Не ожидал (с конечномерными)!

А можно выделить что-то, от чего такое начинается именно с 4 измерений? Какой-нибудь оператор, применяемый к пространству, или что-то ещё…

Mathusic в сообщении #385910 писал(а):

А по нуль-мерному пр-ву, получается, пересечение невозможно?

Ой, ну вот. Я уже забыл, как получил формулу, без бумажки, в голове. Не знаю, что поменять.

Цитата:

И что такое $N$, уточните. Вы имеете ввиду $n+m=N$?

Думал, что такое обозначение будет понято как размерность надпространства.

Munin в сообщении #385913 писал(а):

А вообще, я первой вашей формулы вообще не понял. Как она работает, например, для двух плоскостей в 3D?

Очевидно, никак. Лень было проверять. Наверно, она не от пересечения, а от суммы, об обоих думал, но решил для суммы не писать, там что-то посложнее было и в воображении не помещалось.

[caxap]

arseniiv в сообщении #385901 писал(а):

рискну предположить, что потому что строки получившейся матрицы могут быть линейно зависимы.

Аа... Точно!

Чтобы окончательно понять. Пересечём 4-плоскость с 5-плоскостью в 6-мерном пространстве. 4-плоскость задаётся системой из 2 независимых ЛАУ с 6 неизвестными*. 5-плоскость задаётся одним уравнением с 6-ю неизвестными. Пересечению будет соответствовать объединение СЛАУ: в ней может быть от 2 до 3 независимых уравнений с 6 неизвестными. То есть пересечением может быть 4-плоскость или 3-плоскость. Так?

________
* Есть ли какое-нибудь краткое обозначение для СЛАУ из с $\tiny n$ независимыми уравнениями и $\tiny m$ неизвестными?

[Munin]

arseniiv в сообщении #385917 писал(а):

А можно выделить что-то, от чего такое начинается именно с 4 измерений? Какой-нибудь оператор, применяемый к пространству, или что-то ещё…

Наверняка, много чего, что начинается с 4 измерений. И есть то, что начинается с 5 измерений, и т. п. Но встречается это всё в конкретных задачах и конкретных предметных областях. Мне не встречалось.

caxap в сообщении #385927 писал(а):

То есть пересечением может быть 4-плоскость или 3-плоскость.

И не забывайте про пересечение по пустому множеству.

caxap в сообщении #385927 писал(а):

* Есть ли какое-нибудь краткое обозначение для СЛАУ из с $\tiny n$ независимыми уравнениями и $\tiny m$ неизвестными?

Я думаю, в рамках этого разговора вы вправе ввести своё, например, СЛАУ${}_n^m$.

[arseniiv]

Munin в сообщении #385938 писал(а):

Наверняка, много чего, что начинается с 4 измерений. И есть то, что начинается с 5 измерений, и т. п. Но встречается это всё в конкретных задачах и конкретных предметных областях. Мне не встречалось.

Да нет, наверно, я непонятно написал. Хотел спросить, чему мы обязаны возможностью непериодического вращения уже в 4-мерном пространстве, какому его свойству? Ага, должна быть какая-то особая по сравнению с меньшими размерностями группа преобразований, наверно, да?

[caxap]

Munin в сообщении #385938 писал(а):

И не забывайте про пересечение по пустому множеству.

Э... А как так может быть? Я ведь верно мыслю, что получится СЛАУ${}^6_2$ или СЛАУ${}^6_3$? А чтобы решений не было, надо, чтобы кол-во независимых уравнений было больше, чем неизвестных.

[arseniiv]

У нас с вами однородные системы, а надо неоднородные рассматривать тоже.

-- Сб дек 11, 2010 01:50:42 --

Это Munin сказал.

-- Сб дек 11, 2010 01:51:09 --

Не найду просто.

[caxap]

Ясно

[Munin]

arseniiv в сообщении #385948 писал(а):

Да нет, наверно, я непонятно написал. Хотел спросить, чему мы обязаны возможностью непериодического вращения уже в 4-мерном пространстве, какому его свойству? Ага, должна быть какая-то особая по сравнению с меньшими размерностями группа преобразований, наверно, да?

Тут приходится разбираться с тем, что такое вращение вообще. Любое вращение - это ортогональное преобразование, причём генерируется оно бесконечно малыми преобразованиями (генераторами), так что дискретная подгруппа $\mathbb{Z}_2$ ортогональной группы выпадает, остаётся только $SO(n).$ Базис генераторов этой группы - это повороты в плоскостях, натянутых на $i$-ю и $j$-ю координаты. Понятно, что всего их возможно $n(n-1)/2$ штук, но они между собой не коммутируют. Если в нашем генераторе есть повороты в плоскостях $ij,$ $jk,$ и $ki,$ то в подпространстве $ijk$ можно выбрать новую систему координат такую, что остаётся один поворот и одна не затронутая им ось. Проделав это со всеми $k\ne i,j,$ мы отцепляем поворот в $ij$ от всего остального преобразования вообще: преобразование есть произведение коммутирующих между собой поворота в $ij$ и некоторого ортогонального преобразования в оставшемся подпространстве. Повторяя эту процедуру, мы любое ортогональное преобразование можем представить как произведение $\lfloor n/2\rfloor$ поворотов во взаимно перпендикулярных 2-плоскостях (перпендикулярность тоже обеспечивается ортогональностью). Теперь понятно, почему размерность 4 интересна: в "привычных" размерностях 2 и 3 возможен только один поворот, а в размерности 4 - уже два. Из-за коммутативности они могут происходить на два произвольных угла, в том числе несоизмеримых, так что каждая вращающаяся плоскость сама по себе совершает периодическое движение, а всё пространство в целом - нет.

$$\left(\begin{array}{cccc} \cos\alpha& -\sin\alpha& 0& 0\\ \sin\alpha& \cos\alpha& 0& 0\\ 0& 0& \cos\beta& -\sin\beta\\ 0& 0& \sin\beta& \cos\beta \end{array}\right)$$

"Низкоразмерная интуиция", воображавшая, что поворот происходит не в плоскости, а вокруг оси, попрана :-)

[Yu_K]

В Тик-так-тое 4D что-то никто не предложил поиграть для развития интуиции. Надо же с простых вещей начинать.

[Munin]

"В задних рядах резались в функциональный морской бой в банаховом пространстве."

[Yu_K]

http://www.youtube.com/watch?v=t-LOZWr- ... r_embedded - в банаховом это фигня... тут вот через "червоточины" чужие прорываются... на шестой минуте... ДА ЗДРАВСТВУЕТ РОССИЙСКАЯ ВЫСШАЯ ШКОЛА - вообще это кино лучше в отдельный пост вынести.

[Munin]

Я не понял, к чему здесь этот бред. Или вы считаете функциональный морской бой в банаховом пространстве аналогичным бредом?

[Yu_K]

Munin
Конечно нет. Вы не принимайте ни в коем случае на свой счет.

(Оффтоп)

А это не бред - это российская реальность. Или Вам кино совсем не понравилось?
Тут же ничего не сделаешь - реальность она такова, какова она есть... Дальше она должна еще как то эволюционировать. Представляете, какой флаг эти студенты понесут по жизни и куда они с ним придут.

И еще просто хотелось поднять народ на дискуссию, чтобы понять "червоточины" имеют многомерную геометрическую интерпретацию, или они больше связаны с "идеальными" свойствами мира?

http://www.youtube.com/watch?v=S3xaLKBj-_U там ссылка есть на джава- апплет 5*5*5*5.