N точечных зарядов на поверхности сферы

[Munin]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #385034 писал(а):

Любая физическая модель, предполагающая континуум возможностей, существенно избыточна.

:-) Это непереводимо на физический язык вообще. И на математический, кстати, тоже.

Droog_Andrey в сообщении #385034 писал(а):

Доказали ли физики стабильность всех изотопов свинца?

Не понял, вы предлагаете доказывать то, чего нет?

[Droog_Andrey]

(Надеюсь, последняя пара ремарок)

Munin в сообщении #385072 писал(а):

И на математический, кстати, тоже.

Поясню: математический объект "конфигурационное пространство" является множеством с мощностью континуум, т.е., большей, чем мощность счётного множества состояний физической системы, которая описывается данным математическим объектом.

Munin в сообщении #385072 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #385034 писал(а):

Доказали ли физики стабильность всех изотопов свинца?

Не понял, вы предлагаете доказывать то, чего нет?

О чёрт, я оговорился. Хотел спросить, доказали ли физики нестабильность всех изотопов свинца.

[Munin]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #385078 писал(а):

Поясню: математический объект "конфигурационное пространство" является множеством с мощностью континуум, т.е., большей, чем мощность счётного множества состояний физической системы, которая описывается данным математическим объектом.

И как всё это имеет отношение к вопросу? Или по-вашему, ньютоновская механика тоже избыточна?

Droog_Andrey в сообщении #385078 писал(а):

Хотел спросить, доказали ли физики нестабильность всех изотопов свинца.

Всё равно желаете, чтобы люди вам доказывали то, чего нет?

[Droog_Andrey]

(Ну вот, вроде бы, и ясность)

Munin в сообщении #385093 писал(а):

И как всё это имеет отношение к вопросу?

Я не знаю, про конфигурационное пространство Вы первый заговорили

Munin в сообщении #385093 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #385078 писал(а):

Хотел спросить, доказали ли физики нестабильность всех изотопов свинца.

Всё равно желаете, чтобы люди вам доказывали то, чего нет?

$\rm{^{204}Pb} \rightarrow \rm{^{200}Hg} + \rm{^4He} + 1.972 MeV$
$\rm{^{206}Pb} \rightarrow \rm{^{202}Hg} + \rm{^4He} + 1.137 MeV$
$\rm{^{207}Pb} \rightarrow \rm{^{203}Hg} + \rm{^4He} + 0.392 MeV$
$\rm{^{208}Pb} \rightarrow \rm{^{204}Hg} + \rm{^4He} + 0.519 MeV$
Причём у свинца-204 радиоактивность обнаружена экспериментально.

Возвращаясь к Вашей цитате

Munin в сообщении #384849 писал(а):

есть пара нуклидов, у каждого своя энергия связи, и скорость превращения одного в другой определяется только законом альфа- или бета-распада. Всё.

получаем, что стабильных изотопов свинца не существует. Правда, если бы всё однозначно определялось разницей в энергиях (а она известна), то периоды полураспада были бы известны с некоторой точностью. Но почему-то есть лишь оценка снизу ($>1.4 \cdot 10^{17}$ лет) для свинца-204, основанная на экспериментальных данных.

Munin в сообщении #384814 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #384792 писал(а):

Например, принципиальная возможность распада есть для всех ядер тяжелее ниобия, но реально многие из них вполне стабильны.

Вы не могли бы пояснить, что это за странное свойство "принципиальная возможность распада"? Возможности нет, вот они и не распадаются.

В итоге Вам, по-видимому, придётся забрать назад свои слова "возможности нет, вот они и не распадаются", с которых и начался наш с Вами офтоп. Ведь все ядра тяжелее ниобия могут распадаться, в сущности, по той же причине, что и упомянутые четыре изотопа свинца.

Обратите внимание, что я давал вполне чёткие ответы (об условно стабильных нуклидах и возможности распада), а Ваши придирки оказались необоснованными

[Munin]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #385125 писал(а):

Я не знаю, про конфигурационное пространство Вы первый заговорили

А про континуум вы первый. Одночастичное уравнение Шрёдингера решается в обычном физическом пространстве, но при этом точно так же имеет "континуум возможностей". Так что получается, конфигурационное пространство к вашим феерическим заявлениям и их аргументации попросту не нужно.

Droog_Andrey в сообщении #385125 писал(а):

получаем, что стабильных изотопов свинца не существует. Правда, если бы всё однозначно определялось разницей в энергиях (а она известна), то периоды полураспада были бы известны с некоторой точностью.

Теоретические - и известны.

Droog_Andrey в сообщении #385125 писал(а):

Но почему-то есть лишь оценка снизу

Экспериментальная - разумеется.

Droog_Andrey в сообщении #385125 писал(а):

В итоге Вам, по-видимому, придётся забрать назад свои слова "возможности нет, вот они и не распадаются"

Нет, слова эти ничем не опровергнуты. А вот чтобы вы забрали назад свои слова, что стабильность ядер связана с симметриями пространственного положения точек, в котором протоны никогда не располагаются, видимо, я не дождусь.

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #385125 писал(а):

Ведь все ядра тяжелее ниобия могут распадаться, в сущности, по той же причине, что и упомянутые четыре изотопа свинца.

Вы для всех для них знаете канал с положительным энергетическим балансом, не запрещённый по правилам отбора?

Droog_Andrey в сообщении #385125 писал(а):

Обратите внимание, что я давал вполне чёткие ответы

Ага, ответы насчёт уравнения Шрёдингера меня особо повеселили. Чёткие - не значит умные и правильные.

Droog_Andrey в сообщении #385125 писал(а):

а Ваши придирки оказались необоснованными

Когда кажется, креститься надо, а не смайлики ставить.

[Droog_Andrey]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #385151 писал(а):

Одночастичное уравнение Шрёдингера решается в обычном физическом пространстве, но при этом точно так же имеет "континуум возможностей".

Множество решений счётно.

Munin в сообщении #385151 писал(а):

Вы для всех для них знаете канал с положительным энергетическим балансом, не запрещённый по правилам отбора?

Спонтанное деление везде прокатит

Munin в сообщении #385151 писал(а):

Теоретические - и известны.

И где же они опубликованы? Перед этим Вы вообще утверждали, что стабильные изотопы свинца существуют

Munin в сообщении #385151 писал(а):

А вот чтобы вы забрали назад свои слова, что стабильность ядер связана с симметриями пространственного положения точек, в котором протоны никогда не располагаются, видимо, я не дождусь.

Очевидно, что не располагаются. Но, возможно, стабильность и симметричность имеют какую-то общую причину. В математике, знаете, такие вещи порой связаны оказываются... например, равномерно темперированный музыкальный строй и дзета-функция Римана...

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #384035 писал(а):

Статистика для $N<133$ (согласно результатам Слона):
$C_1: N=61,...$
$C_S: N=25,33,47,79,120,...$
$C_{2v}: N=11,13,19,21,43,53,123,...$
$C_3: N=49,52,115,121,...$
$C_{3v}: N=31,...$
$D_2: N=30,34,36,56,58,64,68,82,88,92,94,106,124,...$
$D_{2d}: N=70,...$
$D_3: N=15,23,29,45,51,57,60,63,69,75,90,101,102,105,111,113,...$
$D_{3h}: N=3,5,9,20,39,41,...$
$D_4: N=126,...$
$D_{4d}: N=8,10,18,80,...$
$D_5: N=62,67,77,112,127,...$
$D_{5h}: N=7,17,27,37,42,...$
$D_6: N=104,110,...$
$D_{6d}: N=14,38,50,...$
$T: N=16,28,46,100,...$
$T_d: N=4,22,40,...$
$T_h: N=78,...$
$O: N=24,48,...$
$O_h: N=6,44,...$
$I: N=72,132,...$
$I_h: N=12,32,122,...$
Остальные значения $N<133$ дают решения с симметрией $C_2$.

Оказывается, я зря мучился, определяя симметрию решений Слона. Википедия даёт эту информацию, причём для всех $N<205$ без исключения:
http://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_pr ... own_energy

Хотя некоторая польза есть: я нашёл в в данных Википедии ошибку и исправил её (для $N=16$ была указана симметрия $T_d$ вместо $T$).

Интересно, что случай $N=312$, вопреки моим ожиданиям, уже не имеет симметрию $I$. Тот факт, что $N=312$ обсчитан, указывает, что я в своих ожиданиях был не одинок. Возможно, эти "деревья" решений конечны для некоторых видов симметрии (скажем, для $O$ и $O_h$ это представляется очень даже вероятным).

[Munin]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #385252 писал(а):

Множество решений счётно.

Феерически беспочвенное заявление. Это оно вам само так сказало?

Droog_Andrey в сообщении #385252 писал(а):

Спонтанное деление везде прокатит

Вы для него правила отбора знаете? Поделитесь с мировой общественностью.

Droog_Andrey в сообщении #385252 писал(а):

Но, возможно, стабильность и симметричность имеют какую-то общую причину.

От этого "возможно" до хотя бы даже смутной идеи, какого рода могла бы быть эта причина - как до луны пешком. Так что извините, это всё трёп а-ля нумерология.

Droog_Andrey в сообщении #385252 писал(а):

В математике, знаете, такие вещи порой связаны оказываются...

А в физике намного чаще вещи несвязаны оказываются. Имейте это в виду.

[Droog_Andrey]

Подобрал аппроксимирующую функцию для потенциальной энергии:

$E \approx \frac12 N^2-0.5529N^{3/2}+0.014N$

Однако природу константы $0.5529$ определить не удалось. Хорошо бы выразить её через обычные математические константы...

P.S. Вот здесь можно получить координаты точек для многих $N$:
http://thomson.phy.syr.edu/thomsonapplet.htm
(жмёте Load Lowest, а затем File -> Point Set)

Судя по всему, вплоть до $N=580$ там посчитаны глобальные минимумы, а дальше уже как повезёт.

[worm2]

Droog_Andrey писал(а):

Однако природу константы $0.5529$ определить не удалось. Хорошо бы выразить её через обычные математические константы...

Имхо, шансов мало. Попробуйте, например, найти аналитические выражения для коэффициентов квадратного трёхчлена, наименее уклоняющегося от $e^x$ на $[0, 1]$.

[Droog_Andrey]

Но здесь-то другая задача. По крайней мере, суммой ряда представить этот коэффициент можно, мне так кажется.

ИСН в сообщении #384563 писал(а):

похоже, что при достаточно больших числах (скажем, начиная с 20-30) картинка будет сносно описываться как покрытие сферы "почти равносторонними" треугольниками, к-рые сходятся в неких двенадцати вершинах по 5 штук, а во всех остальных - по 6.

Судя по всему, при достаточно больших $N$ вершины, в которых сходятся по $5$ или по $7$ "треугольников" (назовём их условно "красными" и жёлтыми" соответственно, как они и обозначены в упомянутом выше java-апплете), скапливаются в $12$ "кучек" разнообразной конфигурации (зачастую симметричной), расположенных примерно на равном расстоянии друг от друга.

В каждой такой "кучке" нечётное число вершин (жёлтых вершин на одну меньше, чем красных), и это число постепенно растёт с ростом $N$. На странице с апплетом есть ссылка "cap builder", по которой можно собирать варианты решений напрямую из "кучек".

* * * * * * *

Droog_Andrey в сообщении #385528 писал(а):

Подобрал аппроксимирующую функцию для потенциальной энергии:

$E \approx \frac12 N^2-0.5529N^{3/2}+0.014N$

Однако природу константы $0.5529$ определить не удалось. Хорошо бы выразить её через обычные математические константы...

На странице с java-апплетом есть ссылка на поиск по их базе данных, в которой, помимо прочего, даны отклонения от предложенной ими аппроксимирующей функции для энергии:
http://thomson.phy.syr.edu/shells/index.php

Там используется функция вида $\frac12 N^2 - a N^{3/2} + b N^{1/2}$, работающая хуже, чем моя. Покопавшись в Сети, я обнаружил, что такой вид функции использовался в предыдущих работах, например
http://www.primefan.ru/stuff/math/thomson/ngm.pdf

Авторы этой работы ссылаются на статью 1996 года, а те, в свою очередь, на статью 1992-го, в которой степень $N$ в третьем слагаемом определялась практически наугад по очень маленькому количеству точек

Более подробно (но и более широко) аппроксимация энергии исследуется вот в этой диссертации, но конкретно про задачу Томсона там информации мало.

Есть также (незаконченная?) статья Ричарда Шварца: http://arxiv.org/abs/1001.3702
В ней он говорит об аппроксимации энергии, но конкретных результатов я у него не нашёл. Он также описывает java-апплет для задачи Томсона, но это другой апплет, ИМХО более громоздкий:
http://www.math.brown.edu/~res/Electron/index.html

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #386376 писал(а):

На странице с java-апплетом есть ссылка на поиск по их базе данных, в которой, помимо прочего, даны отклонения от предложенной ими аппроксимирующей функции для энергии:
http://thomson.phy.syr.edu/shells/index.php

Там используется функция вида $\frac12 N^2 - a N^{3/2} + b N^{1/2}$, работающая хуже, чем моя.

Теперь там используется моя аппроксимирующая функция

[ИСН]

ИСН в сообщении #384563 писал(а):

картинка будет сносно описываться как покрытие сферы "почти равносторонними" треугольниками, к-рые сходятся в неких двенадцати вершинах по 5 штук, а во всех остальных - по 6.

Там у Слоана есть ещё packings и coverings (тоже "равномерные" распределения точек по сфере, но с другой целевой функцией); посмотрел на них в плане этой гипотезы. Короче, coverings к приведённому описанию весьма близки, но встречаются также вершины по 7, которые всё портят; что же до packings, то они даже и не близки.

[Droog_Andrey]

Более точная аппроксимация для энергии:

$E \approx \frac12 N^2 - 0.55295 N^{3/2} + 0.018 N - 0.08 N^{1/2}$

Природа константы $0.55295...$ по-прежнему не ясна.

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #441283 писал(а):

Природа константы $0.55295...$ по-прежнему не ясна.

В этой статье предполагают, что указанная константа - это половина константы Маделунга для плоского вигнеровского кристалла:
http://www.if.ufrgs.br/~arenzon/papers/thomson.pdf
http://arxiv.org/abs/cond-mat/0302524

И, действительно, упомянутая константа Маделунга равна примерно $1.106103$. С учётом того, что первоначальные оценки коэффициента при $-N^{3/2}$ составляли около $0.551$, а я уточнил его сначала до $0.5529$, а затем до $0.55295$, предельное значение в $0.553051...$ вполне вероятно.

P.S. Как оказалось, аппроксимирующая функция с константой Маделунга предлагалась ещё в 1999 году вот в этой статье:
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.60.15628

Если привязать оценку энергии к константе Маделунга, то получается выражение вроде

$2E \approx N^2 - \mathrm{M}N^{3/2} + 0.05N - 0.4N^{1/2}$

P.P.S. А вот и аналитическое выражение для этой константы (оно дано, например, в этой статье 1997 года, т.е. гипотеза ещё старше):

$\mathrm{M} = -\frac{3^{5/4}}{\sqrt{2\pi}}\zeta(\frac12)L_{-3}(\frac12) = 1.10610258671519...$

Здесь $L_{-3}(s) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(3k+1)^{-s}-(3k+2)^{-s}$; подробнее об $L_d(s)$ см. тут.

Расчёт пяти тысяч знаков в Mathematica 7.0 занял совсем немного времени:

http://www.primefan.ru/stuff/math/thomson/5000.gif