запнулся в решении

[OcbMuHor]

требуется решить уравнение
$\[X = ?\]$
дано:
$\[(A\vartriangle (B \cap \overline X )) \cap C = \overline {(B \cup \overline C )} \]$
пребразовал в $\[(A\vartriangle (B \cap \overline X )) \cap C = \overline B \cap \overline {\overline C } \]$, $\[(A\vartriangle (B \cap \overline X )) \cap C = \overline B \cap C\]$, $\[A\vartriangle (B \cap \overline X ) = \overline B \]$
что делать дальше не имею представления.

[Виктор Викторов]

OcbMuHor в сообщении #382637 писал(а):

$\[(A\vartriangle (B \cap \overline X )) \cap C = \overline B \cap C\]$, $\[A\vartriangle (B \cap \overline X ) = \overline B \]$

Последний переход ошибочен $\[A\vartriangle (B \cap \overline X )\]$ может быть не равно $\[\overline B \]$. Например, $\mathbb{R}\cap \mathbb{N} = \mathbb{Q}\cap \mathbb{N}$, но $\mathbb{R}\neq \mathbb{Q}$.

Думаю, что уравнение не имеет решения. Вот мои соображения: $\[(A\vartriangle (B \cap \overline X )) \cap C = \overline B \cap C\]$. $X$ должен быть выбран так, чтобы в левой части не было элементов $B$. При любых $A$ и $B$ это возможно только, если $\overline X$ пустое множество, но в этом случае $A \cap C$ не обязано быть равно $\overline B \cap C$.

[neo66]

Виктор Викторов в сообщении #382660 писал(а):

Думаю, что уравнение не имеет решения.

Оно, действительно, не имеет решений для любых $A,B,C$, но существуют такие $A,B,C$, что оно имеет решения.

[Gortaur]

Да, например для пустого $C$ это всегда верно.

[paha]

Для равенства необходимо, чтобы $C\subset A\setminus(A\cap B)$. При выполнении этого условия $X$ -- любое.

[Виктор Викторов]

neo66 в сообщении #382719 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #382660 писал(а):

Думаю, что уравнение не имеет решения.

Оно, действительно, не имеет решений для любых $A,B,C$, но существуют такие $A,B,C$, что оно имеет решения.

Gortaur в сообщении #382720 писал(а):

Да, например для пустого $C$ это всегда верно.

paha в сообщении #382736 писал(а):

Для равенства необходимо, чтобы $C\subset A\setminus(A\cap B)$. При выполнении этого условия $X$ -- любое.

Правильно. Но это другая задача.

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #382753 писал(а):

Правильно. Но это другая задача.

Это обычное уравнение "с параметром", типа $x^2=a$ -- в зависимости от $a\in\mathbb{R}$ либо нет решений, либо оно одно, либо два.

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #382759 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #382753 писал(а):

Правильно. Но это другая задача.

Это обычное уравнение "с параметром", типа $x^2=a$ -- в зависимости от $a\in\mathbb{R}$ либо нет решений, либо оно одно, либо два.

Конечно, но имеет одно и то же решение при всех возможных параметрах и разбор по параметрам - вещи разные. В частности, при $A \cap C = \overline B \cap C$ $X$ универсальное множество.

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #382761 писал(а):

$A \cap C = \overline B \cap C$

равносильно

paha в сообщении #382736 писал(а):

$C\subset A\setminus(A\cap B)$

В стартовом топике темы не стоит никаких кванторов, просто:

OcbMuHor в сообщении #382637 писал(а):

требуется решить уравнение

Вот, если на вступительном экзамене на задание
"решить уравнение $a(x^2+1)=0$",
экзаменуемый ответит: "при произвольном $a$ решений нет" ему это задание не зачтут:)
А ведь пример полностью аналогичен уравнению темы...

[svv]

paha в сообщении #382736 писал(а):

Для равенства необходимо, чтобы $C\subset A\setminus(A\cap B)$. При выполнении этого условия $X$ -- любое.

По-моему, условие не является необходимым для равенства. Его можно упростить: $C\subset A\setminus B$.

Возьмём $C=B$, $X=\overline A$. Тогда условие не обязательно выполнено, но уравнение удовлетворяется независимо от этого:
$(A\vartriangle (B \cap \overline X )) \cap C = (A \vartriangle (B \cap A )) \cap B = (A\setminus B) \cap B = \varnothing$
$\overline {(B \cup \overline C)}=\overline {(B \cup \overline B)}= \varnothing$

[OcbMuHor]

да уж. тут и акулы зубы ломают. куда уж мне))) наверное прийдется оставить эту затею и приступить к следующим задачам. Очень признателен участникам за проявление внимания. буду время от времени просматривать топик, может что свежее нарисуется

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #382768 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #382761 писал(а):

$A \cap C = \overline B \cap C$

равносильно

paha в сообщении #382736 писал(а):

$C\subset A\setminus(A\cap B)$

Равносильно? Если $C$ не является подмножеством $A\setminus(A\cap B)$, то $A \cap C = \overline B \cap C$ все равно может быть истинным.

paha в сообщении #382768 писал(а):

В стартовом топике темы не стоит никаких кванторов, просто:

OcbMuHor в сообщении #382637 писал(а):

требуется решить уравнение

Вот, если на вступительном экзамене на задание
"решить уравнение $a(x^2+1)=0$",
экзаменуемый ответит: "при произвольном $a$ решений нет" ему это задание не зачтут:)
А ведь пример полностью аналогичен уравнению темы...

Формально, Вы правы. А фактически, я думаю, что пример из методички для заочников, сделанной тяп-ляп. Подробный анализ требует много времени и бумаги. Имелось в виду нечто другое.

OcbMuHor в сообщении #382811 писал(а):

да уж. тут и акулы зубы ломают. куда уж мне))) наверное прийдется оставить эту затею и приступить к следующим задачам. Очень признателен участникам за проявление внимания. буду время от времени просматривать топик, может что свежее нарисуется

Где Вы взяли эту зубодробительную проблему?

[OcbMuHor]

Цитата:

Где Вы взяли эту зубодробительную проблему?

Контрольная работа по курсу для заочников основы дискретной математики

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #382815 писал(а):

... я думаю, что пример из методички для заочников, сделанной тяп-ляп.

OcbMuHor в сообщении #382829 писал(а):

Контрольная работа по курсу для заочников основы дискретной математики

No comments.

[paha]

svv в сообщении #382805 писал(а):

paha в сообщении #382736 писал(а):
Для равенства необходимо, чтобы $C\subset A\setminus(A\cap B)$. При выполнении этого условия $X$ -- любое.
По-моему, условие не является необходимым для равенства. Его можно упростить: $C\subset A\setminus B$.

это то же самое условие... просто я считаю неприличным вычитать из множества то, чего в нем нет:)