Равномерная сходимость полиномов ограниченной степени

[altro]

Здравствуйте. Меня снова мучает этот вопрос.

Проблема состоит в том, что доказательство нужно из математического анализа (доказательство через нормы не нужно). Но как это сделать не представляю. Не понятно даже как начать-то.
Точнее один факт понятен: если предельная функция полином, то никакого другого вида она быть не может, так как последовательность имеет один предел. Но как доказать, что предельная функция и есть полином?

[ewert]

altro в сообщении #381629 писал(а):

Но как доказать, что предельная функция и есть полином?

Неизвестно -- задача не поставлена.

[paha]

altro в сообщении #381629 писал(а):

Проблема состоит в том, что доказательство нужно из математического анализа

Рассмотрим такое преобразование: $\Delta_hP(x)=P(x+h)-P(x)=hQ(x,h)$, где $Q$ -- полином степени на 1 меньший, чем $P$.

Ясно, что если $P_n\to P$, то $\Delta_h^mP_n\to\Delta_h^mP$, откуда $\Delta_h^mP(x)=const$, откуда нетрудно получить искомое утверждение (предел -- непрерывная функция)

[altro]

paha в сообщении #381634 писал(а):

$\Delta_h^mP_n\to\Delta_h^mP$

А что такое $\Delta_h^mP_n$? И нельзя ли поподробнее об этом методе. И где мы будем использовать равномерную сходимость?

[paha]

altro в сообщении #381635 писал(а):

А что такое $\Delta_h^mP_n$?

$\Delta_h^mP_n=\Delta_h(\Delta^{m-1}_hP_n)$, т.е. $D_hP(x)=P(x+h)-P(x)$, $\Delta_h^2P(x)=P(x+2h)-2P(x+h)+P(x)$ и т.д.

altro в сообщении #381635 писал(а):

И где мы будем использовать равномерную сходимость?

предел непрерывных функций при равномерной сходимости непрерывен

[altro]

paha в сообщении #381634 писал(а):

Ясно, что если $P_n\to P$, то $\Delta_h^mP_n\to\Delta_h^mP$, откуда $\Delta_h^mP(x)=const$, откуда нетрудно получить искомое утверждение

Тогда совсем не понятна это цепочка выводов...

[paha]

altro в сообщении #381635 писал(а):

И нельзя ли поподробнее об этом методе

если $\Delta_h^mf(x)$ не зависит от $x$ при любом $h$ и функция $f$ неперывна, то она -- полином степени не выше $m$

[ewert]

altro в сообщении #381637 писал(а):

Тогда совсем не понятна это цепочка выводов...

При каждом фиксированном $h$ выражение $\Delta_h^mP_n(x)$ -- это линейная комбинация сдвинутых на фиксированные расстояния экземпляров функции $P_n(x)$. Каждое слагаемое сходится равномерно, а тогда и вся комбинация -- тоже. (Потом надо будет ещё учесть, что $h$ сколь угодно мало, но это потом.)

-- Пн ноя 29, 2010 13:06:51 --

paha в сообщении #381639 писал(а):

если $\Delta_h^mf(x)$ не зависит от $x$ при любом $h$ и функция $f$ неперывна, то она -- полином степени не выше $m$

Это, конечно, верно, но -- действительно совершенно не очевидно.

[paha]

непрерывность и индукция

[ewert]

Вообще-то если без норм, то весьма разумное решение предложил Padawan в сообщении #364550. Оно хорошо ещё и тем, что не требует никакой равномерной сходимости, и даже поточечной не требует, а лишь в нескольких отдельных точках. Но -- не вполне элементарно в том смысле, что требует знания понятия интерполяции, её свойств и знания многочлена Лагранжа в частности.

А совсем элементарное доказательство можно провести по индукции так. Для $m=0$ утверждение тривиально. Предположим, оно верно для некоторого $m$, и рассмотрим некоторую последовательность равномерно сходящихся на $[a;b]$ многочленов $P_n(x)$ степени не выше $(m+1)$. Тогда многочлены $Q_n(x)=\dfrac{P_n(x)-P_n(a)}{x-a}$ степени не выше $m$ будут равномерно сходиться на любом промежутке $[a+\varepsilon;\,b]$ с $\varepsilon>0$. По индукционному предположению, их пределом будет некоторый многочлен $Q(x)$ степени не выше $m$ и, следовательно, пределом $P_n(x)$ будет многочлен $P(x)=(x-a)\,Q(x)+\lim\limits_{n\to\infty}P_n(0)$. В силу произвольности $\varepsilon>0$ будет $\lim\limits_{n\to\infty}P_n(x)=P(x)$ при каждом $x\in(a;b]$, а в силу непрерывности предельной функции -- и на всём $[a;b]$.

[paha]

(Оффтоп)

Но то самое характеристическое свойство многочлена можно доказать и пользоваться им в жизни:^)

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #381781 писал(а):

характеристическое свойство многочлена

А что это такое -- и вообще, на что конкретно этот ответ?...

[paha]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #381795 писал(а):

А что это такое -- и вообще, на что конкретно этот ответ

ну... непрерывная функция -- многочлен тогда и только тогда, когда некоторая ее конечная разность обращается в ноль...
Я к тому, что это утверждение очень полезно -- может пригодится не только для доказательства заявленной в топике задачи

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #381799 писал(а):

Я к тому, что это утверждение очень полезно

А-а... ну может и полезно. Только для топикстартера -- явно чересчур изысканно. За этим же тоже некоторая дополнительная теория стоит.

[altro]

ewert в сообщении #381651 писал(а):

Тогда многочлены $Q_n(x)=\dfrac{P_n(x)-P_n(a)}{x-a}$ степени не выше $m$ будут равномерно сходиться на любом промежутке $[a+\varepsilon;\,b]$ с $\varepsilon>0$.

Я не могу понять почему отношение этих $\dfrac{P_n(x)-P_n(a)}{x-a}$ полиномов есть также полином (а вдруг остаток есть)?
И почему $Q_n(x)$ сходятся равномерно?