Равномерная сходимость полиномов ограниченной степени

[altro]

Здравствуйте. Пожалуйста помогите доказать следующее утверждение. На отрезке $[a,b]$ задана последовательность полиномов степени не выше $m$ : $P_{n}^{\le m}(x)$, которая сходтся равномерно на этом множестве к некоторой предельной функции $f(x)$. Доказать, что эта предельная функция также является полиномом.

[мат-ламер]

Введите на пространстве полиномов на отрезке норму, зависящую от коэффициентов полинома (например, сумма модулей коэффициентов), и воспользуйтесь тем, что в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

[Dan B-Yallay]

Надо ли еще показать что введенная норма как-то связанао в равномерной нормой на $[a,b]$ ?

[мат-ламер]

Наверное,в предыдущем посту ерунду написал. Точнее, из сходящейся последовательности полиномов можно выделить подпоследовательность, у которой сходятся каждый их коэффициентов. Затем составляем полином из этих пределов (т.е. с коэфициентами, равными пределам коэффициентов из сходящейся последовательности). У исходной последовательности один предел - это и будет полином, который мы составили.

[moscwicz]

мат-ламер
Почему ерунду? Совершенно правильное решение. Норма равномерной сходимости на конечномерном пространстве полиномов $\le m$ эквивалентна норме например "максимума среди модулей коэффициентов многочлена". Если сходятся по норме равномерной сходимости то сходятся и коэффициенты и наоборот.

[Padawan]

altro
Прямое решение:
Зафиксируйте на отрезке $[a,b]$ $m+1$ точку, и выразите Ваши полиномы через значения в этих точках (инттерполяционный полином Лагранжа). В произвольной точке $x\in[a,b]$ перейдите к пределу, и увидите, что предельная функция -- полином Лагранжа, проходящий через предельные значения в выбранных точках.

[altro]

мат-ламер в сообщении #364546 писал(а):

Наверное,в предыдущем посту ерунду написал. Точнее, из сходящейся последовательности полиномов можно выделить подпоследовательность, у которой сходятся каждый их коэффициентов. Затем составляем полином из этих пределов (т.е. с коэфициентами, равными пределам коэффициентов из сходящейся последовательности). У исходной последовательности один предел - это и будет полином, который мы составили.

А на основе чего мы можем утверждать, что необходимую подпоследовательность можно выделить?

[мат-ламер]

Тут ещё надо доказать, что исходная последовательность ограничена (по коэффициентам).

[Padawan]

Еще решение: конечномерное подпространство всегда замкнуто.

[ewert]

Padawan в сообщении #364569 писал(а):

Еще решение: конечномерное подпространство всегда замкнуто.

Вот, наконец-то. Плюс заклинание насчёт эквивалентности в нём всех норм.

[altro]

ewert в сообщении #364593 писал(а):

Padawan в сообщении #364569 писал(а):

Еще решение: конечномерное подпространство всегда замкнуто.

Вот, наконец-то. Плюс заклинание насчёт эквивалентности в нём всех норм.

А нельзя ли подробнее насчёт эквивалентности норм. Просто я совсем не силён в этой области и толком не могу понять о чём речь...

[Dan B-Yallay]

Если в пространстве заданы две нормы $\| \ \|_1 , \| \ \|_2$ то говорят что они эквивалентны, если

$$\exists \ C, c : \quad c\| \ \|_1 \leqslant \| \ \|_2 \leqslant C\| \ \|_1$$

В пространстве $\mathbb R^2$ можно рассмотреть нормы

$\| (x,y) \|_1 = max \{|x|, |y|\} $ и

$\| (x,y) \|_2 = \sqrt{x^2+y^2}$ (обычное расстояние )

И убедиться в их эквивалетности.

[ewert]

altro в сообщении #364600 писал(а):

А нельзя ли подробнее насчёт эквивалентности норм.

Есть стандартный факт. Что любые две нормы в любом конечномерном пространстве эквивалентны в смысле: для любой такой пары норм $\|\cdot\|_{\alpha}$ и $\|\cdot\|_{\beta}$ существуют две константы $C_1,C_2$ такие, что

$C_1\|x\|_{\alpha}\leqslant\|x\|_{\beta}\leqslant C_2\|x\|_{\alpha}\ (\forall x).$

И это должно от зубов отскакивать. А согласно этому и равномерная норма на множестве полиномов (ограниченной степени, естественно) эквивалентна любой другой -- ну, например, максимуму коэффициентов полинома. Соответственно, и равномерная сходимость -- эквивалентна сходимости по любой норме (в пространстве полиномов, конечно).

[Padawan]

ewert в сообщении #364593 писал(а):

Padawan в сообщении #364569 писал(а):

Еще решение: конечномерное подпространство всегда замкнуто.

Вот, наконец-то. Плюс заклинание насчёт эквивалентности в нём всех норм.

Зачем это заклинание? Последовательность к чему-то сходится в $C[a,b]$. Раз рассматриваемое подпространство полиномов замкнуто, то предельная функция ему принадлежит.

[moscwicz]

а замкнутость конечномерного подпространства относительно любой нормы как раз и следует из того, что все нормы эквивалентны и достаточно знать, что оно полно относительно какой-нибудь стандартной нормы (это если в большую науку не лезть)