Равномерная сходимость полиномов ограниченной степени

[Joker_vD]

altro в сообщении #386557 писал(а):

Я не могу понять почему отношение этих $\dfrac{P_n(x)-P_n(a)}{x-a}$ полиномов есть также полином (а вдруг остаток есть)?

Теорема Безу же! $P_n(x)-P_n(a)$ имеет корень $x=a$...

[altro]

Joker_vD в сообщении #386566 писал(а):

Теорема Безу же! $P_n(x)-P_n(a)$ имеет корень $x=a$...

А стало понятно по этому вопросу.
Но, тем не менее, как доказывается, что последовательность $Q_n(x) = \dfrac{P_n(x)-P_n(a)}{x-a}$ сходится равномерно на $[a+\varepsilon;\,b]$ с $\varepsilon>0$.

[altro]

altro в сообщении #386574 писал(а):

Но, тем не менее, как доказывается, что последовательность $Q_n(x) = \dfrac{P_n(x)-P_n(a)}{x-a}$ сходится равномерно на $[a+\varepsilon;\,b]$ с $\varepsilon>0$.

Какой способ хоть избрать?

[paha]

altro в сообщении #386557 писал(а):

И почему $Q_n(x)$ сходятся равномерно?

потому, что сходимость многочленов ограниченной степени означает сходимость (обычную, числовую!) их коэффициентов

[Null]

paha в сообщении #386675 писал(а):

потому, что сходимость многочленов ограниченной степени означает сходимость (обычную, числовую!) их коэффициентов

Это исходная задача.

[RIP]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #381651 писал(а):

Вообще-то если без норм, то весьма разумное решение предложил Padawan в сообщении #364550. Оно хорошо ещё и тем, что не требует никакой равномерной сходимости, и даже поточечной не требует, а лишь в нескольких отдельных точках. Но -- не вполне элементарно в том смысле, что требует знания понятия интерполяции, её свойств и знания многочлена Лагранжа в частности.

На самом деле оно вполне элементарно, поскольку знания интерполяционных многочленов Лагранжа не требует. Достаточно знать формулы Крамера и определитель Вандермонда.

[ewert]

altro в сообщении #386574 писал(а):

Но, тем не менее, как доказывается, что последовательность $Q_n(x) = \dfrac{P_n(x)-P_n(a)}{x-a}$ сходится равномерно на $[a+\varepsilon;\,b]$ с $\varepsilon>0$.

Потому, что числители сходятся равномерно, а знаменатель ограничен снизу.

(Оффтоп)

RIP в сообщении #386701 писал(а):

На самом деле оно вполне элементарно, поскольку знания интерполяционных многочленов Лагранжа не требует. Достаточно знать формулы Крамера и определитель Вандермонда.

Но уж знать саму постановку задачи интерполяции-то нужно. А тогда многочлен Лагранжа -- штука в некотором смысле более простая, чем Вандермонд. Скажем, корректность задачи обосновывается существованием многочлена Лагранжа легче и естественнее, чем вычислением определителя Вандермонда.

[altro]

ewert в сообщении #386747 писал(а):

Потому, что числители сходятся равномерно, а знаменатель ограничен снизу.

А какие вообще есть признаки равномерной сходимости для функциональных последовательностей именно (признак Вейерштрасса есть)? А то кроме определения и критерия Коши не знаю (здесь они видимо не подходят).

[altro]

altro в сообщении #386979 писал(а):

ewert в сообщении #386747 писал(а):
Потому, что числители сходятся равномерно, а знаменатель ограничен снизу.

А какие вообще есть признаки равномерной сходимости для функциональных последовательностей именно (признак Вейерштрасса есть)? А то кроме определения и критерия Коши не знаю (здесь они видимо не подходят).

Так всё таки, помогите с вопросом, пожалуйста...