Задача на построение

[Simba]

Задача возможно не трудное, но я придумал её сам:
Построить треугольник по углу и а) прилижащей б) противолежащей к нему стороне, если известно что эта сторона в 4 раза меньше периметра.

Пункт а) не такой уж и сложный, а вот пункт б) ...

[gris]

В пункте б) удобнее рассмотреть задачу аналитически, воспользовавшись теоремой косинусов для противолежащей стороны. Получается простенькая система из выражений для суммы и произведения оставшихся сторон, которую несложно проанализировать.

[Sasha2]

Ничего нового на самом деле Вы не придумали.
Ваша задача (оба пункта) это всего лишь задача построения треугольника по стороне, углу прилежащему к (противолежащему) этой стороне и по сумму двух других сторон.
В первом случае, как Вы действительно заметили задачка тривиальна, и решается откладыванием на сторонах кгла данных отрезков с последующим проведением серединного перпендикуляра.
Но и во втором случае она тоже вообщем то тривиальна, поскольку сводится к задаче построения треугольника по двум сторонам и углу, дежащему против одной из этих сторон (в Вашем случае этот угол равен половине данного и лежит против Вашей данной стороны).

-- Пн ноя 08, 2010 19:25:56 --

Да зачем там косинусы.
Просто строим треугольник по стороне, еще одной стороне в три раза большей и по углу, равному половине данного, лежащего против меньшей стороны. К третьей стороне серединный перпендикуляр и дает третю вершину треугольника в пересечении с этой утроенной стороной.

[Simba]

gris в сообщении #372440 писал(а):

теоремой косинусов для противолежащей стороны

Не понял. Хорошо, мы получили по т. косинусов для $c$ какое то соотношение с неизвестными ну пусть будут $a$ и $b$. А откуда система?


Эххх, действительно просто. Просто хотел сделать так, что бы нужно применить некое свойство Ничего, скоро придумаю!

[gris]

Согласен с красивым геометрическим решением Sasha2:-)
Отмечу, что возможны два различных решения, так как можно построить два трекгольника по двум сторонам и углу не между ними. (хотя треугольники, по-моему, равны)

[Sasha2]

И еще чтобы добить до конца (второй случай конечно).
Здесь возможны два решения, поскольку треугольник по таким данным можно построить два.
А это может иметь место в данном случае, если, конечно, автор задачи сообразит, что угол, который он может задавать может быть только острым, ибо а противном случае задача вообще решений иметь не будет.

[Simba]

Sasha2
gris
Господа, я придумал! И так, вот она:
Построить треугольник по периметру, углу и длине отрезка перенендикуляра, опущенного из точки пересечения биссектрисы данного (который уже дан) угла с противолежащей стороной на одну из сторон содержащий этот угол.
Я её решил, хочу посмотреть, так ли тривиальна она?

[Sasha2]

Она опять же сводится к уже имеющейся. Только в промежутке строим прямоугольный треугольник по катету и острому углу, лежащему против него.
В результате чего получам снова Вашу прежнюю задачу задачу пункта а).

[Simba]

Sasha2 в сообщении #372473 писал(а):

строим прямоугольный треугольник по катету и острому углу

по-моему если построить такой трегольник даст лишь проекцию бис-сы на сторону, а не сторону. Или вы что-то просто не сказали, а я не понял?

[Sasha2]

Ну я думал и так все будет понятно, поэтому и не написал выше.
Надо просто еще выполнить симметрию относительно биссектрисы одного из "остатков", то бишь приставить два уголка к одной и той же высоте (сумма сторон которых известна).
Тогда задача фактически сводится к построению треугольника по высоте периметру и по сумме двух углов, прилежащих к стороне, соответственной данной высоте, что также весьма тривиально.

[Simba]

Sasha2 в сообщении #372601 писал(а):

Надо просто еще выполнить симметрию относительно биссектрисы одного из "остатков"

Конечно, извините меня за мою недоходчивость, какого ещё "остатка"? Давайте по порядку. Берем данный угол. строим бис-су. Потом строим тот самый данный отрезок пепендикуляра, отображаем симметрично бис-сы?

Sasha2 в сообщении #372601 писал(а):

по высоте периметру и по сумме двух углов, прилежащих к стороне, соответственной данной высоте

Пожалуйста, объясните. Не понимаю откуда у вас взялась высота, сумма двух углов и сторона?

[Sasha2]

Итак в треугольнике ABC проводим биссектрису угла B, которая пересекает сторону AC в точке D. Из этой точки опескаем перпендикуляры DE и DF на BC и AB соответственно. Два прямоугольных треугольника BDE и BDF строятся примитивно.
Остается достроить треугольники ADF и CDE. Вот и выполняем симметри, например треугольника ADF относительно биссектрисы угла B.
Далее уже по тексту выше.

Кстати, чего так мудорствовать, задавая перпендикуляр из основания биссектрисы. Можно просто задать саму биссектрису. Так как, задание каждого из этих двух отрезков эквивалентно, в том смысле, что зная одни, второй строится на автомате.

[Simba]

Sasha2 в сообщении #372601 писал(а):

Тогда задача фактически сводится к построению треугольника по высоте периметру и по сумме двух углов, прилежащих к стороне, соответственной данной высоте

В итоге нам нужно построить те самые наложенные друг на друга по тому самому перпендикуляру "остатки"? а как же их посторить?
И ещё хотел спросить. Можно ли задавать в задачах на построение площадь?

[Sasha2]

Да очень просто.
Берем прямую и проводим еще одну прямую параллельную первой и отстоящей от нее на расстоянии, равному данной высоте. Это геометрическое место третьей вершины.
Два угла при основании (точнее их сумму Вы знаете ), а значит знаете и угол при вершине. Теперь каждую сторону продлим на ее же длину, то есть введем в рассмотрение периметр этого треугольника. Тогда угол при вершине будет равен $d+\frac{\phi}{2}$, если $\phi$ - это угол при вершине искомого треугольника. Остается снова из боковых сторон опустить серединные перпендикуляры.
Ну это стандартная задачка.

Да, ну и конечно, предполагается, что Вы можете построить дугу, для которых данный отрезок является стягивающей хордой и виден под данным углом.

[Simba]

Sasha2 в сообщении #372748 писал(а):

каждую сторону продлим на ее же длину, то есть введем в рассмотрение периметр этого треугольника

Это как? Как можно получить периметр наших наложенных "остатков" из периметра искомого треугольника?

Так вы мне не ответили. Может ли встретится задача на построение фигуры данной площади, если...? Как нужно в таком случае воспринимать площадь?