Пробелы в образовании

[Ales]

Munin в сообщении #371634 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #371332 писал(а):

Короче, дискретная математика рулит, непрерывная отдыхает!

Каждая дискретная конструкция может быть обобщена на непрерывный случай. При этом часто итог оказывается принципиально сложнее, и почти всегда - интереснее.

Обычно дискретные задачи более трудные.
Все непрерывные задачи в некотором смысле элементарны: сохранение топологии существенно снижает сложность вопроса.

-- Вс ноя 07, 2010 13:15:52 --

Любая непрерывная задача сводится к дискретной.

Почему люди занимаются преимущественно непрерывными проблемами?
Это общий принцип науки: искать где светло.

-- Вс ноя 07, 2010 13:22:08 --

Пример: решить уравнение $x^2=a$.
1. в поле вещественных чисел,
2. в кольце (поле) вычетов по модулю натурального числа, десятичная запись которого состоит из 1000 цифр.

[Munin]

Ales в сообщении #371799 писал(а):

Любая непрерывная задача сводится к дискретной.

Убиранием топологии? Видимо, да, тут мне возразить нечего.

-- 07.11.2010 13:32:35 --

Ales в сообщении #371799 писал(а):

Почему люди занимаются преимущественно непрерывными проблемами?Это общий принцип науки: искать где светло.

Я так понимаю, это называется интересными и неинтересными проблемами.

[paha]

Munin в сообщении #371814 писал(а):

Убиранием топологии? Видимо, да, тут мне возразить нечего.

ну, если только эта задача не о топологии)))

Может быть сведение "непрерывной к дискретной" это метафора для "основание математики -- элементарное рассмотрение (с)"?

[Munin]

Тогда было бы наоборот, сведение дискретной к непрерывной :-)

[Xaositect]

paha в сообщении #371817 писал(а):

Может быть сведение "непрерывной к дискретной" это метафора для "основание математики -- элементарное рассмотрение (с)"?

Кстати да, дедуктивная система или грамматика тоже интересный объект для обобщения.

[Ales]

Munin в сообщении #371814 писал(а):

Убиранием топологии? Видимо, да, тут мне возразить нечего.

Не только.
Любая непрерывная проблема описывается дискретным математическим текстом.
Решение этой непрерывной проблемы - тоже некоторый текст, имеющий определенные свойства.
Таким образом, для решения любой непрерывной проблемы достаточно найти текст с определенными свойствами.
Это дискретная задача и она решается перебором всех текстов.

Кроме того, любая непрерывная задача со сколь угодной точностью замещается дискретной.

Munin в сообщении #371814 писал(а):

Я так понимаю, это называется интересными и неинтересными проблемами.

Интересные дискретные проблемы очень сложны.

[ewert]

Ales в сообщении #371839 писал(а):

любая непрерывная задача со сколь угодной точностью замещается дискретной.

Задача о расчёте турбулентного движения -- непрерывна или дискретна?...

[moscwicz]

ewert в сообщении #371533 писал(а):

Классическая теорема Вейерштрасса -- она про обычные полиномы, до тригонометрических ещёц доползти надо

Не надо ползать, это прямое следствие теоремы Стоуна. Так, что из общих теорем функана полнота тригонометрической системы в $L^2$ вполне следует

[paha]

moscwicz в сообщении #371847 писал(а):

Не надо ползать, это прямое следствие теоремы Стоуна

да, достаточно, что тригонометрия "разделяет точки" -- я так в след. семестре хочу всюду плотность гладких функций доказать (для определения степени отображения)

-- Вс ноя 07, 2010 15:28:13 --

непрерывного отображения

[moscwicz]

Ales в сообщении #371799 писал(а):

Обычно дискретные задачи более трудные.
Все непрерывные задачи в некотором смысле элементарны: сохранение топологии существенно снижает сложность вопроса.

обычно так рассуждают первокурсники (типа, что круче мех-мат или вмк?), но студентов надо образовывать:

Ales в сообщении #371799 писал(а):

Любая непрерывная задача сводится к дискретной.

дискретную версию теоремы Брауэра о неподвижной точке изготовьте plz

-- Sun Nov 07, 2010 15:43:30 --

paha в сообщении #371849 писал(а):

(для определения степени отображения)

если еще не читали , почитайте Ниренберг Лекции по нелинейному функану, наверняка поможет при отборе материала для лекций и еще Л Шварц Анализ

[paha]

moscwicz в сообщении #371853 писал(а):

почитайте Ниренберг Лекции по нелинейному функану, наверняка поможет при отборе материала для лекций и еще Л Шварц Анализ

стиль не тот... я делаю закладку в общей топологии для курса алгебраической

-- Вс ноя 07, 2010 15:48:31 --

но за напоминание о литературе -- спасибо

[ewert]

moscwicz в сообщении #371847 писал(а):

Не надо ползать, это прямое следствие теоремы Стоуна.

Да, следствие. Только следствие гораздо более элементарное, чем сама теорема Стоуна.

[Ales]

moscwicz в сообщении #371853 писал(а):

дискретную версию теоремы Брауэра о неподвижной точке изготовьте plz

Я повторю еще раз применительно к этой теореме:
1. эта теорема формализуется и есть формальный способ проверить является ли некий текст ее доказательством
2. теорему можно сформулировать в рамках вычислительной математики и
искать неподвижную точку непрерывного отображения решетки в решетку

[ewert]

Ales в сообщении #371953 писал(а):

теорему можно сформулировать в рамках вычислительной математики

А что означают слова "теорему можно сформулировать в рамках вычислительной математики"?...

[Ales]

ewert в сообщении #371846 писал(а):

Ales в сообщении #371839 писал(а):

любая непрерывная задача со сколь угодной точностью замещается дискретной.

Задача о расчёте турбулентного движения -- непрерывна или дискретна?...

Любая математическая задача в некотором смысле дискретна:
она ведь формальна и описывается текстом, ее решение тоже формально и тоже описывается текстом.
Расчет на компьютерах - дискретная штука.

Но турбулентность, похоже, лежит за пределами возможностей математики.

-- Вс ноя 07, 2010 17:07:10 --

ewert в сообщении #371971 писал(а):

Ales в сообщении #371953 писал(а):

теорему можно сформулировать в рамках вычислительной математики

А что означают слова "теорему можно сформулировать в рамках вычислительной математики"?...

Предположим Вам надо смоделировать на компьютере непрерывное отображение.
Может возникнуть вопрос о неподвижной точке.

-- Вс ноя 07, 2010 17:19:21 --

Отображение куба в $\mathbb Z^n$ в себя.
Расстояние между образами соседних точек ограничено небольшим числом.
Существует ли точка, образ которой достаточно близок к ней самой?