Будем искать выражение для импульса частицы в виде

,
Рассмотрим для этого неупругое столкновение двух одинаковых тел одно из которых покоится (в некоторой лабораторной системе отсчета

), а другое движется к нему со скоростью

. После столкновения тела слипаются и продолжают движение вместе с некоторой скоростью

, которую нам надо найти.

,

,

Закон сохранения импульса в проекции на первоначальное направления движения (которое мы выбираем качестве оси

) в лабораторной системе

,
Посмотрим теперь на то же столкновение из другой инерциальной системы

, которая движется относительно системы

со скоростью

В этой системе

,

,

,
В силу определенной симметрии

Применяя теперь закон сложения скоростей, мы можем связать

и

.

,


, откуда

Рассмотрим теперь то же столкновение в двух СО в которых ось x перпендикуляна направлению движения тел, причем система

движется со скоростью

относительно системы

.
В СО

В системе

Для проекций на ось

Поскольку
то

Запишем теперь закон сохранения импульса в системе

в проекции на ось


Это равенство должно выполняться при любом

, в том числе и при

, следовательно

.
Подставляя теперь

в

, получим

Подставляя в это выражение скорость

получаем

Таким образом выражение для импульса будет следующим
