Многообразие: множество матриц с нулевым определителем

[Niclax]

Является ли множество матриц $n\times n$ с нулевым определителем многообразием? Если да, то какой размерности?

P.S. Какие есть книжки по многообразиям с задачами и примерами их решения?

[ewert]

Niclax в сообщении #365464 писал(а):

Является ли множество матриц nxn с нулевым определителем многообразием?

Безусловно, является. (Да, кстати: а что такое "многообразие"?...)

[maxmatem]

Книг много. Вот например "Geometry of Manifolds" by Richard L.Bishop. Очень хорошая книга. ещё книга "Лекции по диф. геометрии" С.Стернберг.

[Niclax]

ewert в сообщении #365477 писал(а):

Niclax в сообщении #365464 писал(а):

Является ли множество матриц nxn с нулевым определителем многообразием?

Безусловно, является. (Да, кстати: а что такое "многообразие"?...)

Множество с биекциями множеств его покрытия на открытые подмножества $\mathbb{R}^n$.

P.S. Еще пара вопросов: Должны ли картирующие отображения быть непрерывными? Произвольное подмножество $\mathbb{R}^n$ можно рассматривать как многообразие любой размерности?

[paha]

maxmatem в сообщении #365489 писал(а):

Если надо про дифференцируемые многообразия

и та и другая книжка именно про дифференцируемые)))

-- Вс окт 24, 2010 00:10:35 --

вообще говоря, $0$ -- критическое значение функции ${\rm det}:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}$, поэтому теорему о прообразе регулярного значения применять нельзя

Посмотрите, что в окрестности нулевой матрицы происходит

-- Вс окт 24, 2010 00:18:56 --

Niclax в сообщении #365490 писал(а):

Еще пара вопросов: Должны ли картирующие отображения быть непрерывными?

да, а сквозные -- гладкими

Niclax в сообщении #365490 писал(а):

Произвольное подмножество $\mathbb{R}^n$ можно рассматривать как многообразие любой размерности?

нет

[maxmatem]

Paha

(Оффтоп)

я читал и ту и ту книгу(не скажу что прям штудировал, но занимался по некоторым главам из них), я уточнил про дифференцируемые потому что в о второй книге изложение об многообразиях ,начинается с общего определения многообразия и сразу вводят понятие дифференцируемого многообразия , а впервой книге чуть по подробнее расписаны примеры многообразий.( в большинстве гладких)

[paha]

Может, я неясно выразился... но ответ на вопрос

Niclax в сообщении #365464 писал(а):

Является ли множество матриц nxn с нулевым определителем многообразием?

"нет, не является гладким многообразием"

[Niclax]

paha в сообщении #365494 писал(а):

вообще говоря, $0$ -- критическое значение функции ${\rm det}:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}$, поэтому теорему о прообразе регулярного значения применять нельзя

Посмотрите, что в окрестности нулевой матрицы происходит

Что там происходит и зачем нам это знать?

Цитата:

Niclax в сообщении #365490 писал(а):

Произвольное подмножество $\mathbb{R}^n$ можно рассматривать как многообразие любой размерности?

нет

А подмножество мощности континуум?

[paha]

Niclax в сообщении #365540 писал(а):

Что там происходит и зачем нам это знать?

там ваше подмножество ${\rm det}^{-1}(0)$ не является локально плоским -- нормаль не определена, поэтому нет согласованной карты

Niclax в сообщении #365540 писал(а):

А подмножество мощности континуум?

нет же: рассмотрите $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}$ вот там в нуле такая же беда

[Niclax]

paha
Я не знаю, что такое "локально плоское множество", "нормаль", "согласованная карта". Одного определения многообразия недостаточно, чтобы это доказать?

Цитата:

нет же: рассмотрите $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}$ вот там в нуле такая же беда

Здесь же тривиально строится атлас. Например, из трех карт: $(-\infty,0), (0,\infty), \mathbb{R}$ c тождестенными отображениями.

[maxmatem]

Niclax

Две карты $\[(U;\phi )\]$ и$ \[(V;\psi )\,\]$
называются гладко связанными (согласованными ) если
$ \[\psi \circ \phi ^{ - 1} :\phi (U \cap V) \to \psi (U \cap V)\]$ - является диффеоморфизмом.

Цитата:

Одного определения многообразия недостаточно, чтобы это доказать?

Не совсем.
Кстати а каким вы определением пользуетесь? Просто иногда в некоторых книгах дают сразу определение гладкого многообразия.

[Niclax]

maxmatem
Я пользуюсь определением гладкого многообразия, т.е.
многообразие = множество в $\mathbb{R}^n$ + атлас с гладкими функциями перехода.

[paha]

Niclax в сообщении #365841 писал(а):

Здесь же тривиально строится атлас. Например, из трех карт: $(-\infty,0), (0,\infty), \mathbb{R}$ c тождестенными отображениями.

карта -- отображение открытого множества... а здесь $\mathbb{R}$ не является открытым, как бы Вы его в крест не вкладывали

-- Пн окт 25, 2010 02:09:46 --

Niclax в сообщении #365841 писал(а):

не знаю, что такое "локально плоское множество", "нормаль", "согласованная карта". Одного определения многообразия недостаточно, чтобы это доказать?

достаточно: рассмотрите гипотетическую "карту", покрывающую нулевую матрицу

[Niclax]

paha в сообщении #365903 писал(а):

Niclax в сообщении #365841 писал(а):

Здесь же тривиально строится атлас. Например, из трех карт: $(-\infty,0), (0,\infty), \mathbb{R}$ c тождестенными отображениями.

карта -- отображение открытого множества... а здесь $\mathbb{R}$ не является открытым, как бы Вы его в крест не вкладывали

$\mathbb{R}$ открыто в $\mathbb{R}$

Цитата:

-- Пн окт 25, 2010 02:09:46 --

Niclax в сообщении #365841 писал(а):

не знаю, что такое "локально плоское множество", "нормаль", "согласованная карта". Одного определения многообразия недостаточно, чтобы это доказать?

достаточно: рассмотрите гипотетическую "карту", покрывающую нулевую матрицу

Ок, назовем её $(U,\phi)$. Что дальше?

[paha]

Niclax в сообщении #365907 писал(а):

$\mathbb{R}$ открыто в $\mathbb{R}$

у нас не прямая, а

paha в сообщении #365566 писал(а):

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy=0\}$

-- Пн окт 25, 2010 02:59:19 --

Niclax в сообщении #365907 писал(а):

Ок, назовем её $(U,\phi)$. Что дальше?

не назовем, а рассмотрите