Геометрический смысл второй производной

[Pixar]

Известно, что первая производная функции одной переменной - касательная прямая в данной точке. Следовательно, вторая производная - это касательная к графику первой производной. Но что из себя представляет вторая производная на графике самой функции?

[ИСН]

Кривизну, с некоторыми - - -

[Pixar]

А её можно как-то изобразить? Я не нашёл картинок в интернете. Хотелось бы посмотреть, как это реально выглядит.

[AlexandreII]

Обычно знак второй производной наглядно отражает "вид" кривизны: вогнутость или выпуклость.
Мы обычно запоминали через рожицы:
f''>0
f''<0
"изгиб губ" описывает вид кривой в окрестности точки

С самим значением кривизны 2-я производная связана так:

$$ K = f'' / (1 + f'^2)^{3/2} $$

[Pixar]

AlexandreII в сообщении #362241 писал(а):

Обычно знак второй производной наглядно отражает "вид" кривизны: вогнутость или выпуклость.
Мы обычно запоминали через рожицы:
f''>0
f''<0
"изгиб губ" описывает вид кривой в окрестности точки

С самим значением кривизны 2-я производная связана так:

$$ K = f'' / (1 + f'^2)^{3/2} $$

Не. Это я знаю. Я хочу понять, как изобразить вторую производную на картинке. Первую же мы рисуем? Это прямая, которая касается графика функции. А вторую нарисовать уже не получится?

[AlexandreII]

Можно нарисовать окружность, которая касается кривой в точке, радиус окружности $R = 1/|K|$, а сверху она или снизу зависит от знака кривизны.

[ИСН]

(да, я тоже об этом подумал, но тут надо прояснить более basic)
Прямая - это не производная. Производная - это не прямая. Следовательно, мы рисуем не производную.

[Lokkie]

Pixar в сообщении #362237 писал(а):

Известно, что первая производная функции одной переменной - касательная прямая в данной точке.

Первая производная - это тангенс угла между осью Ох и касательной к графику функции.

[Pixar]

AlexandreII в сообщении #362250 писал(а):

Можно нарисовать окружность, которая касается кривой в точке, радиус окружности $R = 1/|K|$, а сверху она или снизу зависит от знака кривизны.

Это уже интересно.
А откуда число $1/|K|$?

ИСН в сообщении #362251 писал(а):

(да, я тоже об этом подумал, но тут надо прояснить более basic)
Прямая - это не производная. Производная - это не прямая. Следовательно, мы рисуем не производную.

О, как. Так я значит совсем ничего не понимаю :).

[AlexandreII]

Да, производная - это не прямая, так говорить слишком нестрого.

Но вы же понимаете, что поскольку уравнение касательной:
$y = f'(x_0) (x-x_0)+f(x_0)$
можно утверждать, что касательная передает всю информацию о производной в точке, причем геометрически.

[Pixar]

AlexandreII в сообщении #362254 писал(а):

Да, производная - это не прямая, так говорить слишком нестрого.

Но вы же понимаете, что поскольку уравнение касательной:
$y = f'(x_0) (x-x_0)+f(x_0)$
можно утверждать, что касательная передает всю информацию о производной в точке, причем геометрически.

Спасибо, это я понял. А откуда взялось число $1/|K|$?

[ИСН]

Это радиус окружности, у которой кривизна такая же, как у.

[Pixar]

ИСН в сообщении #362259 писал(а):

Это радиус окружности, у которой кривизна такая же, как у.

Почему $1$, почему делить, откуда $K$, откуда модуль?

[AlexandreII]

радиус знака не имеет, он одинаков для кривизн противоположного знака, поэтому модуль, а то, что радиус обратен кривизне - это скорее из определения, связывающее кривизну и радиус кривизны.
$K$ - кривизна данной функции, см. формулу выше

[worm2]

Если уж говорить, что производная — это касательная прямая, то вторая производная — это касательная парабола, которая касается кривой не хуже, чем прямая (чаще всего лучше, но в частном случае парабола может вырождаться в прямую, совпадающую с первой производной)
По крайней мере, мне лучшей аналогии в голову не пришло. Хотя собственно от второй производной в этой параболе только "кривизна", точнее, коэффициент при $x^2$, зачем-то умноженный на 2