Простенькое тригонометрическое уравнение

[Day]

$sin^3 (x) + cos^3 (x) = 1$

[mihailm]

можно честно решать - разложить на множители и sin(x)+cos(x) за новую переменную

[arqady]

Вот так проще:
$1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$.

[gris]

Там появится кубическое уравнение, но, может быть, оно вполне решабельно. Проще сравнить с основным тригонометрическим тождеством и воспользоваться тем, что синус и косинус не больше 1, то есть кубы по отдельности не больше квадратов.

[Day]

Все верно.
Но смысл данной темы в том, что открывается целая серия уравнений, типа
$sin^7(x) + cos^9(x) = 1$
$sin^{-1/2}(x) + cos^{1/3}(x) = 1$
Система
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
$x^7 + y^5 + z^8 = 1$
и т.д.
Попутно вопрос к знающим - как записать степень, состоящую из нескольких символов (я здесь новичок)
Понял. Фигурные скобки.

[caxap]

Day, воспользуйтесь советом arqady. Что из него следует?

[gris]

$\sin^7x + \cos^9x = 1$
$\sin^{-1/2}x + cos^{1/3}x = 1$

[math]$\sin^7x + \cos^9x = 1$[/math]
[math]$\sin^{-1/2}x + cos^{1/3}x = 1$[/math]

Показатель заключем в фигурные скобки. А круглые ни к чему.
Отрицательные степени не позволяют применить метод решения.

[Day]

Я в 70-е годы своих абитурьентов этим уравнением замучил.
Дашь ему такое и тихо посмеиваешься, как он потеет, решая его "по честному"
Потом сжалишься и как подсказку даешь такое
$sin^5x + cos^7x = 1$
Если парень не совсем дурак - понимает, где собака зарыта.

-- Вс окт 03, 2010 11:40:42 --

Цитата:

Отрицательные степени не позволяют применить метод решения

Очень даже!
$1/sin^nx >= sin^2x (1)$
$1/cos^kx >= cos^2x (2)$
$1/sin-nx + 1/cos^kx >= sin^2x + cos^2x = 1$
При этом точное равенство достигается только тогда, когда (1) и (2) являются точными равенствами.
Тут еще проблема со знаками, но если n, k не целые - особых проблем нет

[gris]

Когда обе степени отрицательны, то корней не будет по соображениям ОДЗ.
А вот когда одна отрицательна, а другая положительна:

$\dfrac1{\sin^3x}+\cos^3x=1$

Уравнение, да, имеет корень $\pi/2$, но и ещё один там, где отрицательный косинус отъедает чуточку у положительного синуса: $x\approx 1,69$

А, ну да, если положительная степень дробная или чётная, тогда конечно

[Виктор Викторов]

Day в сообщении #358262 писал(а):

$sin^3 (x) + cos^3 (x) = 1$

Грязное решение: разбиваемся на две системы:

$ \left\{ \begin{array}{l} sin (x) = 1 \\ cos (x) = 0 \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} sin (x) = 0 \\ cos (x) = 1 \end{array} \right. $

Но это грязное решение. А вот чистое решение (но чистое не получить без грязного): $sin^3 (x) = 1 - cos^3 (x)$

$$8sin^3 (\frac x 2) cos^3 (\frac x 2) = (1 - cos(x))(1 + cos(x) + cos^2 (x))$$

$$8sin^3 (\frac x 2) cos^3 (\frac x 2) = 2sin^2 (\frac x 2) (2 + cos(x) - sin^2 (x))$$

$sin (\frac x 2) = 0$ и $(sin( x ) - 1) (sin (x) + cos(x) + 2) = 0$

Второй вариант чистого решения: $sin^3 (x) = 1 - cos^3 (x)$

$$sin (x) sin^2 (x) = (1 - cos(x))(1 + cos(x) + cos^2 (x))$$

$$sin (x) (1- cos (x))(1 + cos (x)) = (1- cos (x))(2 + cos(x) - sin^2 (x))$$

$cos (x) = 1$ и $(sin( x ) - 1) (sin (x) + cos(x) + 2) = 0$

Есть ещё красивое решение через формулы Эйлера. Но всё это мура. Лучше бы детки знали как доказывать иррациональность корня из двух!

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #361194 писал(а):

Day в сообщении #358262 писал(а):

$sin^3 (x) + cos^3 (x) = 1$

Есть ещё красивое решение через формулы Эйлера.

Я с удивлением обнаружил, что никто не клюнул на "красивое решение через формулы Эйлера". Итак:

$sin(x)= \frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i}$, а $cos(x) = \frac {e^{ix}+e^{-ix}} {2}$

Тогда ${(\frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i})}^3 + {(\frac {e^{ix}+e^{-ix}} {2})}^3 = 1$.
И после легких преобразований $ {({e^{ix}+e^{-ix}})}^3 + {({e^{ix}-e^{-ix}})}^3i = 8$.
Когда комплексное число слева может быть равным восьми? Два случая видны сразу:

$ \left\{ \begin{array}{l} {e^{ix}+e^{-ix}}=2 \\ {e^{ix}-e^{-ix}}=0 \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} {e^{ix}+e^{-ix}}=0 \\ {e^{ix}-e^{-ix}}=2i \end{array} \right. $

В первом $e^{ix}=1$ и это приводит к $cos (x) = 1$, а во втором $e^{ix}=i$ и это приводит к $sin (x) = 1$.

Конечно, после этого в уравнении ${(\frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i})}^3 + {(\frac {e^{ix}+e^{-ix}} {2})}^3 = 1$ надо заменить $e^{ix}=t$. Преобразовать это уравнение к уравнению шестой степени и все эти муки претерпеть только для того, чтобы показать, что больше вещественных корней нам не светит.

[ShMaxG]

Виктор Викторов
Ну не знаю. Все эти решениях жутко-огромны, какая-то непонятная возьня. И что там красивого...
Вот arqady, как я понял, предложил самый убийственный для задачи метод. Решение в 2 строчки. Устно. Правда, не знаю, насколько "глубока" идея, но мне понравилась.

[Виктор Викторов]

Во первых, я не понимаю, что в этой задаче олимпиадного.

ShMaxG в сообщении #362853 писал(а):

Вот arqady, как я понял, предложил самый убийственный для задачи метод. Решение в 2 строчки. Устно. Правда, не знаю, насколько "глубока" идея, но мне понравилась.

arqady в сообщении #358266 писал(а):

$1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$.

Строчка одна. Где решение?

ShMaxG в сообщении #362853 писал(а):

Все эти решениях жутко-огромны, какая-то непонятная возьня.

В моём первом комментарии три решения.

ShMaxG в сообщении #362853 писал(а):

И что там красивого...

Решение через формулы Эйлера действительно длинное, но с моей точки зрения красивое. Вырисовываются совсем другие связи, чем в тригонометрии.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #362897 писал(а):

Строчка одна. Где решение?

Так вот же оно. Просто опущена одна-единственная подразумеваемая строчка: ", причём неравенство всегда строгое, кроме двух случаев: ..."

[Виктор Викторов]

arqady в сообщении #358266 писал(а):

$1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$.

ewert в сообщении #362901 писал(а):

"причём неравенство всегда строгое, кроме двух случаев: ..."

То что

Виктор Викторов в сообщении #361194 писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} sin (x) = 1 \\ cos (x) = 0 \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} sin (x) = 0 \\ cos (x) = 1 \end{array} \right. $

к бабке ходить не надо. arqady красиво и коротко доказал, что других решений нет.