2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение02.10.2010, 12:41 
Аватара пользователя
$sin^3 (x) + cos^3 (x) = 1$

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение02.10.2010, 12:50 
можно честно решать - разложить на множители и sin(x)+cos(x) за новую переменную

 
 
 
 
Сообщение02.10.2010, 12:54 
Вот так проще:
$1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$.

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение02.10.2010, 12:56 
Аватара пользователя
Там появится кубическое уравнение, но, может быть, оно вполне решабельно. Проще сравнить с основным тригонометрическим тождеством и воспользоваться тем, что синус и косинус не больше 1, то есть кубы по отдельности не больше квадратов.

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение03.10.2010, 10:09 
Аватара пользователя
Все верно.
Но смысл данной темы в том, что открывается целая серия уравнений, типа
$sin^7(x) + cos^9(x) = 1$
$sin^{-1/2}(x) + cos^{1/3}(x) = 1$
Система
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
$x^7 + y^5 + z^8 = 1$
и т.д.
Попутно вопрос к знающим - как записать степень, состоящую из нескольких символов (я здесь новичок)
Понял. Фигурные скобки.

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение03.10.2010, 10:17 
Аватара пользователя
Day, воспользуйтесь советом arqady. Что из него следует?

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение03.10.2010, 10:22 
Аватара пользователя
$\sin^7x + \cos^9x = 1$
$\sin^{-1/2}x + cos^{1/3}x = 1$

Код:
[math]$\sin^7x + \cos^9x = 1$[/math]
[math]$\sin^{-1/2}x + cos^{1/3}x = 1$[/math]


Показатель заключем в фигурные скобки. А круглые ни к чему.
Отрицательные степени не позволяют применить метод решения.

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение03.10.2010, 10:28 
Аватара пользователя
Я в 70-е годы своих абитурьентов этим уравнением замучил.
Дашь ему такое и тихо посмеиваешься, как он потеет, решая его "по честному"
Потом сжалишься и как подсказку даешь такое
$sin^5x + cos^7x = 1$
Если парень не совсем дурак - понимает, где собака зарыта.

-- Вс окт 03, 2010 11:40:42 --

Цитата:
Отрицательные степени не позволяют применить метод решения

Очень даже!
$1/sin^nx >= sin^2x (1)$
$1/cos^kx >= cos^2x (2)$
$1/sin-nx + 1/cos^kx >= sin^2x + cos^2x = 1$
При этом точное равенство достигается только тогда, когда (1) и (2) являются точными равенствами.
Тут еще проблема со знаками, но если n, k не целые - особых проблем нет

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение03.10.2010, 11:18 
Аватара пользователя
Когда обе степени отрицательны, то корней не будет по соображениям ОДЗ.
А вот когда одна отрицательна, а другая положительна:

$\dfrac1{\sin^3x}+\cos^3x=1$

Уравнение, да, имеет корень $\pi/2$, но и ещё один там, где отрицательный косинус отъедает чуточку у положительного синуса: $x\approx 1,69$

А, ну да, если положительная степень дробная или чётная, тогда конечно :-)

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение12.10.2010, 02:25 
Аватара пользователя
Day в сообщении #358262 писал(а):
$sin^3 (x) + cos^3 (x) = 1$

Грязное решение: разбиваемся на две системы:

$
\left\{ \begin{array}{l}
sin (x) = 1 \\
cos (x) = 0
\end{array} \right.
$

$
\left\{ \begin{array}{l}
sin (x) = 0 \\
cos (x) = 1
\end{array} \right.
$

Но это грязное решение. А вот чистое решение (но чистое не получить без грязного): $sin^3 (x)  = 1 - cos^3 (x)$
$$8sin^3 (\frac x 2) cos^3 (\frac x 2) =  (1 - cos(x))(1 + cos(x) + cos^2 (x))$$
$$8sin^3 (\frac x 2) cos^3 (\frac x 2) =  2sin^2 (\frac x 2) (2 + cos(x) - sin^2 (x))$$
$sin (\frac x 2) = 0$ и $(sin( x ) - 1) (sin (x) + cos(x) + 2) = 0$

Второй вариант чистого решения: $sin^3 (x)  = 1 - cos^3 (x)$
$$sin (x) sin^2 (x) =  (1 - cos(x))(1 + cos(x) + cos^2 (x))$$
$$sin (x) (1- cos (x))(1 + cos (x))  =  (1- cos (x))(2 + cos(x) - sin^2 (x))$$
$cos (x) = 1$ и $(sin( x ) - 1) (sin (x) + cos(x) + 2) = 0$

Есть ещё красивое решение через формулы Эйлера. Но всё это мура. Лучше бы детки знали как доказывать иррациональность корня из двух!

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение17.10.2010, 04:21 
Аватара пользователя
Виктор Викторов в сообщении #361194 писал(а):
Day в сообщении #358262 писал(а):
$sin^3 (x) + cos^3 (x) = 1$

Есть ещё красивое решение через формулы Эйлера.

Я с удивлением обнаружил, что никто не клюнул на "красивое решение через формулы Эйлера". Итак:

$sin(x)= \frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i}$, а $cos(x) = \frac {e^{ix}+e^{-ix}} {2}$

Тогда ${(\frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i})}^3 + {(\frac {e^{ix}+e^{-ix}} {2})}^3 = 1$.
И после легких преобразований $ {({e^{ix}+e^{-ix}})}^3 + {({e^{ix}-e^{-ix}})}^3i = 8$.
Когда комплексное число слева может быть равным восьми? Два случая видны сразу:

$
\left\{ \begin{array}{l}
{e^{ix}+e^{-ix}}=2 \\
{e^{ix}-e^{-ix}}=0
\end{array} \right.
$

$
\left\{ \begin{array}{l}
{e^{ix}+e^{-ix}}=0 \\
{e^{ix}-e^{-ix}}=2i
\end{array} \right.
$

В первом $e^{ix}=1$ и это приводит к $cos (x) = 1$, а во втором $e^{ix}=i$ и это приводит к $sin (x) = 1$.

Конечно, после этого в уравнении ${(\frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i})}^3 + {(\frac {e^{ix}+e^{-ix}} {2})}^3 = 1$ надо заменить $e^{ix}=t$. Преобразовать это уравнение к уравнению шестой степени и все эти муки претерпеть только для того, чтобы показать, что больше вещественных корней нам не светит.

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение17.10.2010, 10:30 
Аватара пользователя
Виктор Викторов
Ну не знаю. Все эти решениях жутко-огромны, какая-то непонятная возьня. И что там красивого... :roll:
Вот arqady, как я понял, предложил самый убийственный для задачи метод. Решение в 2 строчки. Устно. Правда, не знаю, насколько "глубока" идея, но мне понравилась.

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение17.10.2010, 15:12 
Аватара пользователя
Во первых, я не понимаю, что в этой задаче олимпиадного.

ShMaxG в сообщении #362853 писал(а):
Вот arqady, как я понял, предложил самый убийственный для задачи метод. Решение в 2 строчки. Устно. Правда, не знаю, насколько "глубока" идея, но мне понравилась.

arqady в сообщении #358266 писал(а):
$1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$.

Строчка одна. Где решение?

ShMaxG в сообщении #362853 писал(а):
Все эти решениях жутко-огромны, какая-то непонятная возьня.

В моём первом комментарии три решения.

ShMaxG в сообщении #362853 писал(а):
И что там красивого...

Решение через формулы Эйлера действительно длинное, но с моей точки зрения красивое. Вырисовываются совсем другие связи, чем в тригонометрии.

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение17.10.2010, 15:20 
Виктор Викторов в сообщении #362897 писал(а):
Строчка одна. Где решение?

Так вот же оно. Просто опущена одна-единственная подразумеваемая строчка: ", причём неравенство всегда строгое, кроме двух случаев: ..."

 
 
 
 Re: Простенькое тригонометрическое уравнение
Сообщение17.10.2010, 15:45 
Аватара пользователя
arqady в сообщении #358266 писал(а):
$1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$.

ewert в сообщении #362901 писал(а):
"причём неравенство всегда строгое, кроме двух случаев: ..."

То что
Виктор Викторов в сообщении #361194 писал(а):
$
\left\{ \begin{array}{l}
sin (x) = 1 \\
cos (x) = 0
\end{array} \right.
$

$
\left\{ \begin{array}{l}
sin (x) = 0 \\
cos (x) = 1
\end{array} \right.
$

к бабке ходить не надо. arqady красиво и коротко доказал, что других решений нет.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group