Простенькое тригонометрическое уравнение

[e2e4]

arqady в сообщении #358266 писал(а):

Вот так проще:
$1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$.

Ух ты, очень красиво!

[Виктор Викторов]

e2e4 в сообщении #363346 писал(а):

arqady в сообщении #358266 писал(а):

Вот так проще:
$1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$.

Ух ты, очень красиво!

Это действительно красиво. В школе в подобных уравнениях не лезут в комплексные числа, но здесь есть не только вещественные решения.

$(cos (x) - 1) (sin( x ) - 1) (sin (x) + cos(x) + 2) = 0$

[ewert]

Тут есть некая универсальная идея. Если уравнение не решается (во всяком случае, так просто) в лоб -- стоит поглядеть, а не есть ли это некий предельный случай.

И здесь он (случай) сразу бросается в глаза, стоит только об этом чуток призадуматься. При одном взгляде на графики каждого из слагаемых становится очевидным, что как-то уж они чересчур съёженны. И остаётся это соображение только формализовать.

[Виктор Викторов]

Да, конечно. Причем, если интересны только вещественные корни, то решение arqady $1=\sin^3x+\cos^3x\leq\sin^2x+\cos^2x=1$ -- блеск. Можно больше ничего не делать. Но, если хочется найти третий сомножитель, то это тоже просто т. к. два мы уже знаем. Я это уравнение знаю сорок пять лет, но идея arqady мне в голову не приходила. А вот мысль, что через экспоненту всё едино, хоть и муторно меня посетила давно.

[Day]

Приятно, что это уравненьице получило такой широкий резонанс у читающей публики. Решение arqady действительно классное, и именно его я имел в виду..
Но мало кто заметил, что идея этого решения открывает метод для целого класса уравнений типа
$ sin^nx + cos^kx = 1 (n, k > 2 или n, k < 2)$
и систем
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
$x^7 + y^8 + z^9 = 1$

[Виктор Викторов]

Day в сообщении #363522 писал(а):

... идея этого решения открывает метод для целого класса уравнений типа
$ sin^nx + cos^kx = 1 (n, k > 2 или n, k < 2)$
и систем
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$
$x^7 + y^8 + z^9 = 1$

Виктор Викторов в сообщении #361194 писал(а):

... всё это мура. Лучше бы детки знали как доказывать иррациональность корня из двух!

[ewert]

Day в сообщении #363522 писал(а):

Но мало кто заметил, что идея этого решения открывает метод для целого класса уравнений типа

Да все заметили, и давно. Даже и дробно. Уж картинки-то (в уме) все способны нарисовать.