Объявляю конкурс на самую сложную олимпиадную задачу

[Busy_Beaver]

Добро пожаловать на конкурс "Самая сложная олимпиадная задача"!

Сюда вы можете присылать сложные (на ваш взгляд) олимпиадные задачи, а также оценивать сложность задач, присланных другими участниками.

Удачи!

[maxal]

Довольно бесперспективное занятие на мой взгляд.
Но тем не менее, номинирую знаменитый "masterpiece":
http://dxdy.ru/topic4275.html
https://artofproblemsolving.com/community/c6h4556

[ins-]

Do you want probably future olympiad problems or already given at math competitions?

[Busy_Beaver]

ins- в сообщении #356123 писал(а):

Do you want probably future olympiad problems or already given at math competitions?

Both of them.

(Оффтоп)

And my English is very-very bad

[ins-]

topic9504.html?hilit=equaliteral
topic26612.html?hilit=pentagram

These two problems aren't easy.
First one was given at Romanian TST 1993. I discovered at my own without knowing that.
The second I discovered when I saw Miquel Pentagram Theorem. I spent 50 euros for the
solution but I think these money wasn't lost.

[arqady]

Следующее неравенство- трудное, имхо.
Для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ таких, что $ab+ac+bc\neq0$, докажите, что

$$\sqrt{\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}}\geq\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{\sqrt3}$$

У него имеется красивое доказательство.
Вместе с тем, имеется большое число неравенств с симпатичной формулировкой, но с очень тяжёлым и громоздким доказательством.

(Оффтоп)

ins- в сообщении #356150 писал(а):

I spent 50 euros for the solution but I think these money wasn't lost.

Эрдёш за свои задачи предлагал гораздо меньше.

[maxal]

arqady в сообщении #356302 писал(а):

Эрдёш за свои задачи предлагал гораздо меньше.

Не скажите, у него доходило и до 10 тыщ зелёных. Вот здесь подробности: http://community.livejournal.com/ru_math/158402.html

[arqady]

(Оффтоп)

maxal, его задачи, на которые я натыкался случайным образом, стоили считанные доллары, а то и центы. Спасибо за ссылку!

[ins-]

(Оффтоп)

I don't think my problem is comparable to Эрдёш problems. There have some chance I discovered a new fact (till this moment no one said he saw the problem before and when except in the math sites I posted it). I also know most of the mathematicians not solve the problems because of the money they can earn. They solve them because of the beauty. I tried long time to solve the pentagram problem without considerable success. And I was happy when the guy receive the money. As he said he is a pupil from Vietnam and his father was proud with him when he went to the bank office. The tallent have no price. It was very hard work I believe it is not routine problem. I also think the mathematicians in former SSSR block was underestimated.

[terminator-II]

Доказать, что существует треугольник с любыми наперед заданными длинами биссектрис.

[Sasha2]

Неравенство:

$$\sqrt{\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}}\geq\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{\sqrt3}$$

Разберем случай, когда все три числа являются положительными.
Случай, когда одно из них (два не могут по условию) равно нулю тривиален.
$\sqrt{\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}} \geq \sqrt{\frac{a^3}{3ab}}+\sqrt{\frac{b^3}{3bc}}+\sqrt{\frac{c^3}{3ac}}=\frac{1}{\sqrt3}(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}})$.
Осталось показать, что $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}} \geq \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c$, а это неравенство верно в силу перестановочного неравенства.

Кажется, что все правильно, но вот уважаемый Аркадий говорит, что оно сложно, значит где-то есть у меня ошибка, но вот не вижу этой ошибки. Помогите пожалуйста найти эту ошибку в этом док-ве.

[ins-]

Sasha2 в сообщении #356386 писал(а):

Случай, когда одно из них (два не могут по условию) равно нулю тривиален.
$\sqrt{\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}} !!! \geq \sqrt{\frac{a^3}{3ab}}+\sqrt{\frac{b^3}{3bc}}+\sqrt{\frac{c^3}{3ac}}$.

I think it should be \leq.

[Sasha2]

Да со знаком напутал.

[ins-]

arqady, what is the source of this problem and where a solution can be found?

[arqady]

ins- в сообщении #356667 писал(а):

arqady, what is the source of this problem and where a solution can be found?

Подумайте ещё чуть-чуть. Может, я чего не вижу, может, оно и не такое уж сложное и, в конце концов, может, кто-то хочет доказать его сам. По этим причинам не хочется обнаруживать, где лежит решение. Кто придумал это неравенство не знаю (мне думается, Мастер!), но доказать мне его удалось.