лемма Цорна

[terminator-II]

Встретил такую формулировку леммы Цорна: если всякая цепь в частично упорядоченном множестве имеет верхнюю грань (не обязательно точную!) то множество содержит максимальный элемент.

Не могу понять, почему это эквивалентно стандартной формулировке?

[Joker_vD]

Это же и есть стандартная формулировка?

[terminator-II]

как правило, в условии леммы фигурирует не верхняя грань, а точная верхняя грань

[Виктор Викторов]

Вот здесь topic35465.html AGu всё объяснил.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #350851 писал(а):

Встретил такую формулировку леммы Цорна: если всякая цепь в частично упорядоченном множестве имеет верхнюю грань (не обязательно точную!) то множество содержит максимальный элемент.

Не могу понять, почему это эквивалентно стандартной формулировке?

Это не эквивалентные утверждения. Можно придумать пример упорядоченного множества, к которому применима лемма Цорна с верхней гранью, но не применима с точной верхней гранью.

Пример: $z+z+1$, где $z$ - порядок целых чисел.

По-моему тоже, стандартная - это без точной.

[terminator-II]

Всем спасибо, разобрался. Сейчас не могу вспомнить ссылку, но действительно где-то я сперва вычитал про лемму Цорна с точной верхней гранью. И это была моя первая книжка с леммой Цорна

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #350946 писал(а):

где-то я сперва вычитал про лемму Цорна с точной верхней гранью. И это была моя первая книжка с леммой Цорна

Это была неправильная книжка

[Dan B-Yallay]

Padawan писал(а):

Это не эквивалентные утверждения. Можно придумать пример упорядоченного множества, к которому применима лемма Цорна с верхней гранью, но не применима с точной верхней гранью.

Пример: $z+z+1$, где $z$ - порядок целых чисел.

А как этот пример конфликтует с точной верхней гранью?

[Dandan]

в этом примере не любая цепь имеет точную верхнюю грань. Т.е. "слабая" лемма Цорна (где требуется существование именно точных граней) здесь неприменима.

[Null]

Приведите пример цепи в Z+Z+1 без точной верхней грани.
Пусть они обозначаются $i_1<j_2<1_3$, например $-11_1<10_1<-5_2<0_2<1_3$

[Xaositect]

Null в сообщении #351153 писал(а):

Приведите пример цепи в Z+Z+1 без точной верхней грани.

Нижнее Z.

[Профессор Снэйп]

Кстати, зачем $z + z + 1$? Просто $z + 1$ не годится?

[Null]

Нижнее Z имеет точную верхюю грань $1_2$. Это верхняя грань, а любой меньший элемент гранью не является.

[Профессор Снэйп]

А, ну да, не годится. Самое простое, наверное, будет $\mathbb{Z}_+ + \mathbb{Z}_-$, где слагаемые --- множества положительных и отрицательных целых соответственно.

[Null]

Ошибся :(