Лемма Куратовского – Цорна.

[Виктор Викторов]

На странице 143 книги A.B. Архангельского и В. И. Пономарева «ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ В ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ» есть такая теорема:
«Если пространство X обладает предбазой B такой, что из любого покрытия X элементами семейства B можно выбрать конечное подпокрытие, то X бикомпактно.»

Теперь давайте посмотрим доказательство на странице 183.

«Через К обозначим совокупность всех таких семейств открытых в X множеств, никакое конечное подсемейство которых не покрывает пространства X. На К имеется естественное частичное упорядочение — по включению. Очевидно, К индуктивно по отношению к нему.»
Совокупность К действительно индуктивна по отношению к естественному частичному упорядочению по включению. Я только не могу понять почему это очевидно и как это увидеть, не используя лемму Куратовского («Каждая цепь в частично упорядоченном множестве содержится в некоторой максимальной цепи.» страница 55 Келли «ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ»). То что я вижу выглядит так: по лемме Куратовского каждая цепь в совокупности К содержится в некоторой максимальной цепи. Но теперь каждая цепь имеет максимальный элемент. Действительно, возьмем объединение всех семейств открытых множеств в максимальной цепи. Получим наибольшее семейство, но принадлежит ли оно максимальной цепи? Конечно принадлежит. Если не принадлежало бы, то из него можно было бы выделить конечное подпокрытие, а оно (конечное подпокрытие) должно было бы в таком случае принадлежать какому-нибудь семейству из объединения. А это противоречит условию!

А у A.B. Архангельского и В. И. Пономарева всё наоборот: индуктивность очевидна, т. е. каждое частично упорядоченное множество имеет мажоранту (почему?) и поэтому применим постулат (лемму) Куратовского — Цорна. Каждое индуктивное множество содержит хотя бы один максимальный элемент. (Стр. 18).

Так вот хотелось бы понять как индуктивность в данном случае очевидна?
И если я не вру (что далеко не очевидно) в доказательстве существования максимального элемента для каждой максимальной цепи в К зачем нам вообще здесь применять постулат Куратовского — Цорна, когда всё вылезает из смотрящейся проще леммы Куратовского?
(Именно смотрящейся проще, т. к. постулат Куратовского — Цорна и лемма Куратовского эквивалентны).

[AGu]

Индуктивность $K$ означает, что любая цепь в $K$ имеет верхнюю границу в $K$.
На мой взгляд, это действительно очевидно.
Пусть $\{S_i:i\in I\}$ — произвольная цепь, составленная из элементов $K$.
Положим $S=\bigcup_{i\in I}S_i$.
Покажем, что $S$ является верхней границей $\{S_i:i\in I\}$ в $K$.
Достаточно показать, что $S$ принадлежит $K$.
Ясно, что $S$ состоит из открытых подмножеств $X$.
Остается показать, что в $S$ нет конечных покрытий пространства $X$.
Предположим вопреки доказываемому, что $S$ содержит конечное покрытие $\{U_1,\dots,U_n\}$.
У нас $U_1,\dots,U_n\in S=\bigcup_{i\in I}S_i$, а значит, найдутся такие $i_1,\dots,i_n\in I$, что $U_1\in S_{i_1},\ \dots,\ U_n\in S_{i_n}$.
Поскольку $\{S_i:i\in I\}$ является цепью, среди $S_{i_1},\dots,S_{i_n}$ есть наибольшее. Пусть это будет $S_{i_m}$.
Заметим, что $S_{i_m}$ принадлежит $K$, т.е. в $S_{i_m}$ нет конечных покрытий пространства $X$.
С другой стороны, $U_1,\dots,U_n\in S_{i_m}$, а значит, $S_{i_m}$ все же содержит конечное покрытие пространства $X$.
Противоречие.

[Виктор Викторов]

Уважаемый Agu! Рад Вас видеть. Спасибо.

AGu в сообщении #341600 писал(а):

Пусть $\{S_i:i\in I\}$ — произвольная цепь, составленная из элементов $K$.
Положим $S=\bigcup_{i\in I}S_i$.
Покажем, что $S$ является верхней границей $\{S_i:i\in I\}$ в $K$.

Вы, конечно, правы. Ваша верхняя граница ещё и точная верхняя граница. И в случае максимальной цепи, эта точная верхняя граница ещё и максимальный элемент.