Число Е через бесконечное произведение

[arseniiv]

Постоянная тонкой структуры не математическая константа. Физическая она, чего бы вы ни хотели.

[Garik2]

Жизнь науки показала, что физика и математика очень сильно переплетаются. Так что все может быть.

[iig]

arseniiv в сообщении #345816 писал(а):

Постоянная тонкой структуры не математическая константа. Физическая она, чего бы вы ни хотели.

Не согласен, пока установлена экспериментально, но ведь и ПИ тоже начиналось так же.

[arseniiv]

Ничего там так не начиналось. Константа $\pi$ всегда была математической, поскольку окружность, её длина и её диаметр и его длина — объекты чисто математические.

[Padawan]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #345816 писал(а):

Постоянная тонкой структуры не математическая константа. Физическая она, чего бы вы ни хотели.

Она ведь безразмерная. Чем "математическая" константа отличается от "физической". Что такое вообще физическая константа?

[juna]

Вот для коллекции еще одно представление:
$e=1+\frac {1}{1-\frac {1}{3-\frac {2}{4-\frac {3}{5-\frac {4}{6-\frac {5}{7-...}}}}}}$

70 членов обеспечивает точность 100 знаков:

k:71$d:k$for i:1 thru k-3 do block[d:k-i-(k-1-i)/d]$fpprec:100$bfloat(%e-1-1/(1-1/d));

На Wolfram есть почти аналог в виде формулы (18).

[arseniiv]

Padawan в сообщении #346191 писал(а):

Что такое вообще физическая константа?

Может быть, константа, которую в данный момент нельзя вывести с помощью математической модели, используемой в теории? Я плохо понимаю, но то, что $\alpha$ — не математическая константа, почему-то понимаю. Думаю, есть определение более точное и лучшее, но я его не знаю, а безразмерных констант в физике пруд пруди, однако никто их все математическими не называет.

[Garik2]

Да.... Хорошо бы чисто математически выявить гравитационную постоянную G. Вот это было бы открытие тесячелетия!

-- Пн авг 23, 2010 09:02:04 --

juna в сообщении #346203 писал(а):

Вот для коллекции еще одно представление:
$e=1+\frac {1}{1-\frac {1}{3-\frac {2}{4-\frac {3}{5-\frac {4}{6-\frac {5}{7-...}}}}}}$

В этой цепи отсутствует двойка. Это не ошибка? Если нет, то очень уж странная незакономерность.

[juna]

Ошибки нет.

[Garik2]

А как это доказать, скажем, при помощи Maple. Что-то подозрительно смотрится эта формула. Такое ощущение, что она в лучшем случае приближенная.

[arseniiv]

Garik2 в сообщении #346693 писал(а):

Такое ощущение, что она в лучшем случае приближенная.

И вы думаете, никто об этом не знал бы?

[Garik2]

Цитата:

- Такое ощущение, что она в лучшем случае приближенная.
- И вы думаете, никто об этом не знал бы?

Это все слова. Давайте лучше так. Пишем в Maple

>evalf(exp(1),55);

и рядышком вычисление по некрасивой цепной дроби (с тем же количеством знаков 55). Тогда все будет предметно и ясно!

[arseniiv]

Нет, тогда не будет. Она может разойтись как раз когда вы решите больше приближения не вычислять. Математические доказательства так не проводят. Или придётся принять на веру, или найти доказательство и проверить, или доказать самому. Мне проверять лень.

[Garik2]

Это не ответ математика. Вот я свою формулу, о которой говорил в данной теме, довел до ясного логического конца:

e:=evalf(product((2*k/(2*k-1))^2*((2*k^2+k-1)/(2*k^2+k))^(2*k),k=1..infinity),55);

E:=evalf(exp(1),55);

e := 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959575

E := 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959575

Здесь все вопросы сняты, все безукоризненно. Любой желающий может проверить и убедиться.
Почему же цепную дробь нельзя точно так же убедительно защитить?

[arseniiv]

Дело в том, что вместо $55$ нужно $\infty$.