C6 ЕГЭ (натуральные числа, степени двойки, вычеркивание цифр

[Legioner93]

"Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки".
Мое решение: $x$- первая цифра, $k$ - макимальный разряд у изначального числа.

$$x10^k+2^b=2^a$$

$$x=\frac{2^b(2^{a-b}-1)}{10^k}$$

$x$ может быть целым, только если последняя цифра $2^{a-b}$ - 6, значит $a-b=4m$, m - натуральное число.

$$x=\frac{2^b(16^m-1)}{2^k5^k}$$

Т.к. x - цифра, то $b=k..k+3$. Дальше я в тупике. Если бы мы доказали, что вторая цифра не ноль, то было бы гораздо проще, $a-b$ было бы ограничено 6, отсюда сразу следует ответ. Спасибо.

[Ales]

Используйте то, что одна степень двойки отличается от другой на один десятичный порядок.

[ИСН]

Хорошая болезнь склероз: ничего не болит, и на форуме каждый день новости.

[мат-ламер]

Если первое равенство сократить на степень двойки, то можно увидеть, что оно выполнимо, только для некоторых самых маленьких значений параметров. Проанализируйте сами. Я нашёл только два решения - $64$ и $32$.

[Алекс77]

Ales в сообщении #311879 писал(а):

Используйте то, что одна степень двойки отличается от другой на один десятичный порядок.

В общем случае не факт, но уже есть направление
Рассмотрите все возможные случаи, когда большее число является соответственно больше меньшей степени в 2,4,8 и, может быть, для начальных случаев, 16 раз.

[neo66]

Уже было. ["VAL в сообщении #310144"]

[Ales]

Алекс77 в сообщении #311896 писал(а):

Ales в сообщении #311879 писал(а):

Используйте то, что одна степень двойки отличается от другой на один десятичный порядок.

В общем случае не факт, но уже есть направление
Рассмотрите все возможные случаи, когда большее число является соответственно больше меньшей степени в 2,4,8 и, может быть, для начальных случаев, 16 раз.

одна искомая степень двойки отличается от другой на один десятичный порядок - переформулировка задачи

-- Чт апр 22, 2010 10:11:04 --

задачка очень хорошая и решается быстро

[neo66]

Ales в сообщении #312000 писал(а):

задачка очень хорошая и решается быстро

Если нетрудно, аккуратно напишите решение.

[Ales]

neo66 в сообщении #312010 писал(а):

Ales в сообщении #312000 писал(а):

задачка очень хорошая и решается быстро

Если нетрудно, аккуратно напишите решение.

Лучше бы Legioner93 решил сам. Но если Вы просите, пожалуйста:

Legioner93 в сообщении #311877 писал(а):

"Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки".
Мое решение: $x$- первая цифра, $k$ - макимальный разряд у изначального числа.

$$x10^k+2^b=2^a$$

$$x=\frac{2^b(2^{a-b}-1)}{10^k}$$

поскольку искомые степени отличаются на один десятичный порядок, то $2^{a-b}$ меньше 100 и не может принимать значения кроме 2,4,8,16,32,64;
$2^{a-b}-1$ делится на 5;
значит $2^{a-b}$=16;
отсюда $k=1$ и $x=\frac{2^b3}{2}\le9$;
$b=1,x=3$ или $b=2,x=6$
ответ: 2 и 32 или 4 и 64

-- Чт апр 22, 2010 11:21:20 --

Думаю, что такую задачу не следует вставлять в ЕГЭ.
Это скорее олимпиадная задачка.

-- Чт апр 22, 2010 11:31:31 --

На ЕГЭ надо проверять знание стандартных приемов.
А здесь типа головоломки: можно сразу угадать что делать, а можно и не угадать.
А время экзамена идет.

[TOTAL]

Ales в сообщении #312015 писал(а):

поскольку искомые степени отличаются на один десятичный порядок, то $2^{a-b}$ меньше 100 и не может

Почему на один десятичный порядок?

[ewert]

Ales в сообщении #312015 писал(а):

поскольку искомые степени отличаются на один десятичный порядок, то $2^{a-b}$ меньше 100

Вы очень сильно ужесточили условие задачи, полагая, что (скажем) запись типа 008 не является десятичной.

Ales в сообщении #312015 писал(а):

На ЕГЭ надо проверять знание стандартных приемов.
А здесь типа головоломки: можно сразу угадать что делать, а можно и не угадать.
А время экзамена идет.

Нет, всё нормально:

Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов 2010 года писал(а):

Правильное решение каждого из заданий В1-В12 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы – 30.
. . . . . . . . . . . . . . .
Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

[Ales]

ewert в сообщении #312032 писал(а):

Вы очень сильно ужесточили условие задачи, полагая, что (скажем) запись типа 008 не является десятичной.

Десятичная запись числа никогда не начинается с 0. Иначе она не однозначна.
Так что я правильно переформулировал задачу.

В любом случае авторы задачи имели в виду именно это.

[ewert]

Ales в сообщении #312035 писал(а):

Десятичная запись числа никогда не начинается с 0. Иначе она не однозначна.

А кто сказал, что она должна быть однозначной?

Или Вы считаете, что, допустим, Джеймс Бонд -- не десятичен?

Ales в сообщении #312035 писал(а):

В любом случае авторы задачи имели в виду именно это.

Наверняка нет. Иначе задача сводится просто к тупому перебору. Посмотрите на другие С6 -- нигде не так.

[Ales]

ewert в сообщении #312038 писал(а):

Ales в сообщении #312035 писал(а):

Десятичная запись числа никогда не начинается с 0. Иначе она не однозначна.

А кто сказал, что она должна быть однозначной?

Или Вы считаете, что, допустим, Джеймс Бонд -- не десятичен?

Нет конечно же, 07 это не число.
Нигде ни в одном учебнике, ни в одном задачнике не найдете пример записи натурального числа начинающейся с 0.

-- Чт апр 22, 2010 12:05:54 --

ewert в сообщении #312038 писал(а):

Наверняка нет. Иначе задача сводится просто к тупому перебору. Посмотрите на другие С6 -- нигде не так.

Все задачи в конечном счете сводятся к перебору или еще хуже просто к дедукции.

[ewert]

Ales в сообщении #312041 писал(а):

Нигде ни в одном учебнике, ни в одном задачнике не найдете пример записи натурального числа начинающейся с 0.

Но это вовсе не означает, что число 007 не является десятичным.

Впрочем, это означает, что формулировка задачи не вполне корректна. Наверняка многие школьники поняли бы это условие так же, как и Вы -- и недосчитались бы баллов.