C6 ЕГЭ (натуральные числа, степени двойки, вычеркивание цифр

[neo66]

У меня есть два предложения: хорошее и плохое -
хорошее - все-таки решить задачу в расширенном понимании. Ales - давайте, смелее.
плохое - спор о том, является ли запись $025$ - коректной или нет, перенести в другой раздел.

[Ales]

neo66 в сообщении #312112 писал(а):

У меня есть два предложения: хорошее и плохое -
хорошее - все-таки решить задачу в расширенном понимании. Ales - давайте, смелее.
плохое - спор о том, является ли запись $025$ - коректной или нет, перенести в другой раздел.

То есть исследовать диофантово уравнение $x10^k+2^b=2^a, x\le9$?
Я такую задачу не решу. Пробовал - не получается. А кто решил?
ЕГЭ должно просто решаться.

-- Чт апр 22, 2010 15:04:29 --

Правильно понимать что такое "десятичная запись" это тоже математика.
Я не согласен с neo66.

-- Чт апр 22, 2010 15:24:05 --

Расширенную задачку уже решили.

http://dxdy.ru/post310144.html

-- Чт апр 22, 2010 15:53:19 --

Из делимости $(2^{a-b}-1)$ на 25 следует делимость на 11 (надо знать малую теорему Ферма, которая не входит в программу).
Но $x<10$ и не делится на 11.
Значит $(2^{a-b}-1)$ не делится на 25, отсюда k=1.
Заметим, $10^k>2^b$, значит $2^b$ может быть 2,4,8, а $2^a$ - двузначное число 16, 32, 64. Ответ 32 и 64.

[Ales]

Ее решил Батороев.

-- Чт апр 22, 2010 16:07:21 --

Хотя тогда есть еще ответы: 01, 02, 04, 08.

-- Чт апр 22, 2010 16:08:45 --

Или любая степень двойки: 00001024, зачеркнули получили 0001024.

-- Чт апр 22, 2010 16:14:23 --

Еще: любые числа - степени двойки, не обязательно целые.

-- Чт апр 22, 2010 16:17:03 --

Так что можно ответ: любое число от 11 и выше.

[мат-ламер]

Поскольку из того, что написано я ничего не понял, то предложу своё решение. Итак, сократим первое равенство из первого поста на максимальную степень двойки, получаем уравнение $2^n=m*5^p+1$, где $m=1,3,7,9$. (Очевидно справа в этом равенстве степеней двойки быть не может). Докажем, что это уравнение имеет единственное решение $n=4, m= 3, p=1$. Легко доказывается по индукции, что $2^n-1$ делится на $5$ только при $n=4k$. Но если $n>4$, то у выражения $2^n-1$ будут нечётные множители больше 9, не делящиеся на 5. Действительно, если $n=8k$, то это множитель $2^{4k}+1$. Если $n=8k+4$, то это множитель $2^{4k+2}-1$.

[Legioner93]

Всем спасибо, разобрался!