является ли функция характеристической

[sladkaya2311]

подскажите пожалуйста как определить является ли функция $f(t)=\frac{4} {5-\cos t} $ характеристической ?

[Padawan]

Что Вы понимаете под характеристичекой функцией?

[sladkaya2311]

Пусть есть случайная величина X с распределением ${P}_X$. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:$M[\exp(itx)]$

[ShMaxG]

(сначала неверно прочитал условие)

[--mS--]

sladkaya2311 в сообщении #309450 писал(а):

подскажите пожалуйста как определить является ли функция $f(t)=\frac{4} {5-cost} $ характеристической ?

Например, разложить в бесконечный ряд по степеням косинуса и показать, что этот ряд есть выпуклая линейная комбинация характеристических функций.

[Padawan]

Обратное преобразование Фурье посчитать

$$ P(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{4}{5-\cos t} e^{-ixt}\,dt $$

Только преобразование Фурье надо понимать в смысле обобщенных функций.

Как там делается :)? Пусть $\varphi(x)$ финитная бесконечно дифференцируемая функция

$\int P(x)\varphi(x)\,dx=\int\varphi(x)\,dx\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{4}{5-\cos t} e^{-ixt}\,dt=\ldots$

[--mS--]

Padawan в сообщении #309508 писал(а):

Обратное преобразование Фурье посчитать

В надежде получить что? Бьюсь об заклад, что не плотность, ибо её тут быть не может.

Upd: обычно с гауссовской сворачивают, финитность вряд ли сильно нужна. А дальше?

[Padawan]

В надежде получить обобщенную функцию. Если получится мера - хорошо. Нет, так нет. Честно сказать, я не уверен, получится ли преобразование Фурье вычислить

[--mS--]

Padawan в сообщении #309514 писал(а):

В надежде получить обобщенную функцию. Если получится мера - хорошо. Нет, так нет. Честно сказать, я не уверен, получится ли преобразование Фурье вычислить

А тогда зачем такой совет в совершенно стандартной учебной задачке?

[Padawan]

Можно через разложение подынтегральной функции в ряд Фурье посчитать, $\dfrac{4}{5-\cos t}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cos nt$. И использовать $\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cos nt e^{-itx}\,dt=\dfrac{1}{2}\left(\delta(x-n)+\delta(x+n)\right)$. Надо только проверить, что все коэффициенты Фурье $a_n\geqslant 0$.

Это, видимо, и сведется к тому, о чем Вы говорили - про выпуклую комбинацию.

[--mS--]

Да не надо этого всего делать. Студент должен овладеть сначала стандартными вероятностными приёмами. Например, научиться строить случайную величину с такой х.ф. Анализ - это круто, однако часто скрывает лес за деревьями.

[Padawan]

Хорошо. Но допустим оказалось, что одно из $a_n<0$. Что Вы будете говорить в этом случае?

[--mS--]

Padawan в сообщении #309539 писал(а):

Хорошо. Но допустим оказалось, что одно из $a_n<0$. Что Вы будете говорить в этом случае?

Допускать в стандартных задачах ничего не гоже. Будет другая задача - будут иные методы. Доказывать, что функция не будет характеристической, проще всего через невыполнение каких-то из многих свойств х.ф., на худой конец через теорему Бохнера - Хинчина.

Например: если в разложении один из коэффициентов отрицателен, то при единичной сумме коэффициентов модуль х.ф., вообще говоря, может оказаться больше единицы. Например, $2\cos(2t)-cos(t)$.

[Kvetka]

Как доказать, что $f(t)=cost^2$ не является характеристической функцией какой-либо случайной величины?
Нам сказали, что это сложно сделать... Расскажите хотя бы последовательность действий!
спасибо!

[RIP]

например, можно заметить, что функция $\cos t^2$ не явл. равномерно непрерывной на $\mathbb R$.