Нестандартный Нестандартный анализ

[AGu]

Андрей АK в сообщении #292713 писал(а):

AGu в сообщении #292698 писал(а):

В классическом анализе (и в нестандартном анализе, разумеется, тоже) такого числа нет.

В классическом нет, а в "Нестандартном" - поищите описание "гипердействительных чисел" и там найдёте это число.

Пожалуйста, ведите себя корректно и не отсылайте меня к учебникам (которые я, уверяю Вас, прекрасно знаю). Если Вы утверждаете, что в нестандартном анализе есть такое число -- а именно, наименьшее среди строго положительных чисел (гипердействительных или просто действительных) -- извольте это доказать, опираясь на имеющуюся аксиоматику нестандартной теории множеств (Нельсона, Хрбачека, Каваи, кого угодно), или предъявить его, исходя из теоретико-модельного подхода Робинсона. (Забегая вперед, скажу с абсолютной уверенностью, что Вам это не удастся.)

[Андрей АK]

AGu в сообщении #292738 писал(а):

Если Вы утверждаете, что в нестандартном анализе есть такое число -- а именно, наименьшее среди строго положительных чисел (гипердействительных или просто действительных) -- извольте это доказать, опираясь на имеющуюся аксиоматику нестандартной теории множеств (Нельсона, Хрбачека, Каваи, кого угодно), или предъявить его, исходя из теоретико-модельного подхода Робинсона. (Забегая вперед, скажу с абсолютной уверенностью, что Вам это не удастся.)

Свойство числа быть наименьшим, среди всех существующих, или не быть наименьшим, никак не влияет на манипуляции, с ним производимым.
Можно сказать, что "обобщенные свойства" - т.е. только те что влияют на вычисления дифференциалов, и в классическои и в "Нестандартном" - они совпадают.
Вообще, единственное свойство, которое здесь требуется от эпcилон - это быть бесконечно малым.
Все!
Все, остальное интересует только теорию чисел.
Поэтому "в обобщенном смысле" и эпсилон из гипердействительных чисел и классический дифференциал и мое эпсилон - это все один и тот же объект.

-- Пт фев 26, 2010 23:06:32 --

venco в сообщении #292724 писал(а):

Продолжим про свойства $\varepsilon$:

$$\varepsilon > 0 \eqno{(6)}$$

Здесь нужна ваша помощь. Чему равно:

$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = ?$$

Я ведь уже писал.
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0.100...0000 \cdot \varepsilon
-здесь точка (после нуля) - это не разделитель дробных разрядов, а просто некий маркер, отделяющий единичный разряд.

[venco]

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

venco в сообщении #292724 писал(а):

Чему равно:

$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = ?$$

Я ведь уже писал.
$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0.100...0000 \cdot \varepsilon

Это не ответ.
Попробуем по другому.
Какое из сравнений верно:

$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon < \varepsilon\eqno{(7)}$$

$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = \varepsilon\eqno{(8)}$$

$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon > \varepsilon\eqno{(9)}$$

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

-здесь точка (после нуля) - это не разделитель дробных разрядов, а просто некий маркер, отделяющий единичный разряд.

Т.е., не маркер, стоящий слева от дробных разрядов, а маркер, стоящий справа от единичного разряда? Глубокая мысль.

[Андрей АK]

venco в сообщении #292839 писал(а):

$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = \varepsilon$

Это неверно.
Видимо вы были введены в заблуждение моим ранним постом.
Там я не совсем верно выразил мысль.
Существует два представления: обычное (там точка означает разделитель дробных разрядов) и перевернутое (сделаем там другой разделитель)
$1.000... = 1'000...0000$
$\frac 1 2$ - это в обычном представлении
$0'100...0000$ -это в перевернутом.
Как видно, в перевернутом представлении не существует дробных чисел.
Вот иерархия бесконечно малых величин:

$\varepsilon =1 \cdot \varepsilon = 0.000...0001 $

Это можно назвать определением числа $\varepsilon$

Оно же:

$1'000...0000 \cdot \varepsilon $

Теперь начнем его делить, получая все более маленькие числа:

$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0'100...0000 \cdot \varepsilon $

$\frac 1 4 \cdot \varepsilon = 0'010...0000 \cdot \varepsilon $

И т.д.
пока не получим

$\frac 1 2^N \cdot \varepsilon = 0'000...0001 \cdot \varepsilon $

Дальше делить пополам нельзя ... но можно заметить, что $0'000...0001 \cdot \varepsilon =0.000...0001 \cdot \varepsilon =\varepsilon \cdot \varepsilon = 1'000...0000 \cdot \varepsilon^2 $

Т.е. перешли на новый уровень.

У чисел $\varepsilon^2 $ своё пространство/область/окрестность ..., бесконечно малое относительно $\varepsilon$

Чтобы получить $\varepsilon^2 $ надо $\varepsilon $ разделить на бесконечность (т.е. очень постараться).
А при обычных арифметических операциях мы так и будем оставаться в области $\varepsilon$ - бесконечно малых чисел, умноженных на бесконечно большие целые числа. (гиперцелые числа - хорошее название)

Т.е. у нас нигде нет дробных чисел от $\varepsilon $ - все числа целые (хоть и бесконечно большие) умноженные на некую константу ... которая определяет степень минитюаризации.

[venco]

Вы не забыли, с чего начинали эту тему?

Андрей АK в сообщении #292228 писал(а):

Попробуем добавить нестандартному анализу ещё немного красоты.

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.

Теперь, оказывается, что есть, а $\varepsilon$ - просто маленькое положительное число.

[Андрей АK]

venco в сообщении #292865 писал(а):

Вы не забыли, с чего начинали эту тему?

Андрей АK в сообщении #292228 писал(а):

Попробуем добавить нестандартному анализу ещё немного красоты.

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.

Теперь, оказывается, что есть, а $\varepsilon$ - просто маленькое положительное число.

Не маленькое положительное, а бесконечно малое, и даже бесконечно малая единица.
Может показаться, что такой подход (объявление что мол у действительных чисел есть конец ... с другой стороны бесконечности) ничего особого не даёт ... но кроме перехода на точные формулы конечных разностей, могут быть ещё выгоды.

Например, если бы мы определили бесконечные ряды ... с окончанием!
Т.е. бесконечные в середине.
Тогда эти ряды перестали бы быть многозначными и стали бы сходящимися (знакопеременные).
Известный пример:
$1-1+1-1...$ - дает неоднозначность.
А вот ряд:
$1-1+1-1...-1 = 0$
А ряд
$1-1+1-1...+1 = 1$
(внутри у каждого бесконечное количество членов)
Значит, такой подход (бесконечность в середине) может много дать, в первую очередь точность и однозначность.

Как же закончить бесконечный ряд?
А вот на числе $\varepsilon$ и закончить - ни один ряд не может иметь членов больше , чем $\frac 1 \varepsilon$

[venco]

Андрей АK в сообщении #292873 писал(а):

venco в сообщении #292865 писал(а):

Вы не забыли, с чего начинали эту тему?

Андрей АK в сообщении #292228 писал(а):

Попробуем добавить нестандартному анализу ещё немного красоты.

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.

Теперь, оказывается, что есть, а $\varepsilon$ - просто маленькое положительное число.

Не маленькое положительное, а бесконечно малое, и даже бесконечно малая единица.

Единица - это единица. Число с вполне определёнными свойствами. А "бесконечно малая единица" - абсурд.

Давайте ещё раз, только без увёрток. Число $\frac 1 2 \varepsilon$ меньше, чем $\varepsilon$?
Отвечайте прямо, одним словом: "да" или "нет". Потом можете добавить комментарий, если хочется.

[Андрей АK]

$\frac 1 2 \varepsilon$ Это уже другой уровень малости.
На этом уровне самое маленькое число это $\varepsilon^2$
Как бы вы не делили $\varepsilon$ - меньше числа не получите (разве что за бесконечное число делений, а это уже особый случай).
То же самое и с $\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$ - но откуда вы его получили?
Ни делением, ни разностью (только не дифференциальной) вы его получить не могли.
Вот и выходит, что с точки зрения обычной арифметики - вы никаким образом не можете получить числа , меньшего $\varepsilon$
Только если возьмете "уже готовое" эпсилон и начнете его делить ... да на этом уровне $\varepsilon$ уже не самое маленькое число, но там есть другое самое маленькое.
Т.е. можно сказть, что $\varepsilon$ - это "обобщенно самое маленькое число" - в группе некоторых преобразований (полиномов) невозможно получить ничего меньше этого числа.
Его можно получить с помощью функционала: $p(x+\varepsilon)-p(x)$ - но это уже другой вопрос на повестке. (К тому же в этот функционал уже подставили "готовое" эпсилон - которое опять же не было получено никакими операциями, а было привнесено извне).

[AGu]

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

Свойство числа быть наименьшим, среди всех существующих, или не быть наименьшим, никак не влияет на манипуляции, с ним производимым.

Перевожу: отсутствие числа никак не влияет на манипуляции, с ним производимыми. Прелесть.

Еще раз прошу не называть числом то, что им не является! Да и вообще стоило бы называть вещи своими именами, а не присваивать чужие имена своим вещам.

Андрей АK писал(а):

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.
Числа $\varepsilon/2$ - не существует
Т.е. $\varepsilon$ - это такая единица, очень маленькая.
умножение становится "сомнительной операцией".
А вот деление на переменные - это немного другое.
гипердействительные числа - это целые числа!
Итак единица на ноль это бесконечно большое число $\frac1\varepsilon$
Число $\frac12$ в ней - это бесконечно большое число
Я же говорил, об отсутствии чисел между $0$ и $\varepsilon$.
Два СОСЕДНИХ действительных числа

Если Вы считаете, что процитированное является «небольшой модификацией нестандартного анализа», то у нас с Вами весьма различные представления о смысле слова «небольшой». (Впрочем, это было понятно уже из Вашего стартового поста. )

Теперь — по делу...

Я прекрасно вижу, к чему Вы стремитесь (идеологически, философски и отчасти математически). При должном старании Вашим сырым и невнятным мыслям вполне можно придать строгость. Но в придании им строгости нет ровным счетом никакого смысла. Современный нестандартный анализ уже имеет в своем арсенале все, чего Вы добиваетесь, и гораздо больше. В таком «добавлении красоты» он не нуждается. Вы отнюдь ничего не добавляете. Наоборот, Вы пытаетесь кастрировать нестандартный анализ. (Думаю, Вы делаете это неосознанно — просто по незнанию и непониманию.) Ваш nonanalysis представляет собой не что иное как гиперконечную аппроксимацию вещественной прямой с фиксированным бесконечно малым шагом.

Далее... К сожалению, Ваша «идея» не нова. (Я здесь сожалею не Вам, а науке.) Мне очень не хочется популяризировать псевдонауку, но я вынужден упомянуть некую страничку, в конце которой Вы обнаружите ссылки на почти дословную реализацию Ваших «идей». Будучи уверенным в том, что содержимое тех ссылок покажется Вам оригинальным и красивым, сразу скажу, что эти «идеи» на самом деле бесплодны и тривиальны.

[venco]

Андрей АK в сообщении #292957 писал(а):

Как бы вы не делили $\varepsilon$ - меньше числа не получите (разве что за бесконечное число делений, а это уже особый случай).
То же самое и с $\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$ - но откуда вы его получили?

Вы определитесь, "меньше числа не получится", или таки "$\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$"?

[AGu]

venco в сообщении #293027 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292957 писал(а):

Как бы вы не делили $\varepsilon$ - меньше числа не получите (разве что за бесконечное число делений, а это уже особый случай).
То же самое и с $\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$ - но откуда вы его получили?

Вы определитесь, "меньше числа не получится", или таки "$\frac 1 2 \varepsilon$ - да , оно меньше чем $\varepsilon$"?

Видите ли, у нас тут «числами» сначала считаются только числа вида $n\varepsilon$ ($n\in\mathbb Z$). Это числа первого уровня — элементы шкалы (гиперконечной аппроксимации) с шагом $\varepsilon$. Ясно, что в этой шкале между $0$ и $\varepsilon$ чисел нет. Что касается $\frac12\varepsilon$, то это тоже число, но оно уже на другом уровне — например, в шкале с шагом $\varepsilon/2$. И на этой другой шкале $0<\frac12\varepsilon<\varepsilon$. Все элементарно.

[venco]

Тогда у нас не определены операции умножения и деления на таком множестве. Т.е. практической пользы нет.

[AGu]

venco в сообщении #293038 писал(а):

Тогда у нас не определены операции умножения и деления на таком множестве. Т.е. практической пользы нет.

Кто бы спорил.

[Андрей АK]

AGu в сообщении #293003 писал(а):

Далее... К сожалению, Ваша «идея» не нова. (Я здесь сожалею не Вам, а науке.) Мне очень не хочется популяризировать псевдонауку, но я вынужден упомянуть некую страничку, в конце которой Вы обнаружите ссылки на почти дословную реализацию Ваших «идей». Будучи уверенным в том, что содержимое тех ссылок покажется Вам оригинальным и красивым, сразу скажу, что эти «идеи» бесплодны и тривиальны.

Не важно нова или не нова, и не спешите обзывать тривиальным, то, чему вы не видите применения.
Я как раз хотел обсудить, новые возможности и раз уже есть другие материалы по этой теме, то о терминологии можно больше не спорить.

Прежде всего возникает вопрос:
А достаточно ли бесконечного числа разрядов в середине числа, чтоб задать любое действительное число?

Или этих разрядов даже избыточно?

Например можно рассмотреть, делимость действительных и рациональных чисел.
Но для этого надо знать количество разрядов в нашем бесконечном ряду.
Предположим, там столько разрядов, что это число делится на все без исключения натуральные числа.
Тогда, у числа 1/3 последний бит (в нашем представлении) равен единице (посольку в двоичном виде это 0.(01) ) а число всех разрядов - четное.

Так можно любой полином изучать с точки зрения его четности или делимости на другие числа...

Но, если число 1/3 умножить на три, то мы получим 0.(1) - это число точно не равно единице - значит все же недостаточно бесконечного числа знаков, для представления любого числа? (с абсолютной точностью)

[Xaositect]

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

0.(1) - это число точно не равно единице

Это число точно равно единице.