Нестандартный Нестандартный анализ

[migmit]

Андрей АK в сообщении #292228 писал(а):

Попробуем добавить нестандартному анализу ещё немного красоты.

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.

Вы уверены, что хотя бы приблизительно представляете, что такое нестандартный анализ?

[Андрей АK]

venco в сообщении #292289 писал(а):

Если серьёзно, то:
Как вы уже сказали: $\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0$
Тогда: $\varepsilon = 1\cdot \varepsilon = (\frac 1 2 + \frac 1 2)\cdot \varepsilon = \frac 1 2 \cdot \varepsilon + \frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0 + 0 = 0$
Т.е. либо $\varepsilon = 0$, либо в вашей арифметике не выполняется дистрибутивный закон умножения.

Вы меня совсем запутали.
Вот, еще раз отвечаю на этот вопрос.
В перевернутой арифметике, то что вы написали, будет выглядеть так:
$\varepsilon = 1000...000 \cdot \varepsilon = (\frac 1 2 + \frac 1 2)1000...000 \cdot \varepsilon = 0100...000 \cdot \varepsilon + 0100...000 \cdot \varepsilon = 1000...000 \varepsilon$
И никаких $\frac 1 2 \cdot \varepsilon$
То что я писал (что $\frac 1 2 \cdot \varepsilon=0$) - это запись не в обычном виде, a уже в перевернутом и означает, что единица делить на бесконечность и ещё на два - будет ноль.
(В обычном представлении перевернутая $\frac 1 2 \cdot$ - это единица делить на два в бесконечной плюс один степени)
Т.е. больше чем на бесконечность делить нельзя.
Но можно умножать на другое эпсилон.
Т.е. степени бесконечности можно задавать через эпсилоны (её степени), но никакими другими способами.

[arqady]

venco в сообщении #292342 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292329 писал(а):

Число $\frac 1 2 $ в ней - это бесконечно большое число, с единицей, имеющей после себя бесконечное число нулей.

Число $\frac 1 2$ - это такое число, что если его прибавить к самому себе - получится точно число $1$.
А число $1$ - это такое число, что если на него умножить любое число, то произведение будет точно равно этому числу.
А $0$ - это такое число, что если его прибавить к любому числу, то сумма будет точно равна этому числу.

Остаётся только маааленькая проблема: что такое число?

[AGu]

У меня просьба к топикстартеру (или к модератору, если редактирование первого сообщения уже недоступно топикстартеру). Пожалуйста, измените название топика. Дело в том, что словосочетание «Нестандартный анализ» уже занято. (И занято оно явно не тем, что предлагается к обсуждению в этом топике.)

[Андрей АK]

AGu в сообщении #292543 писал(а):

У меня просьба к топикстартеру (или к модератору, если редактирование первого сообщения уже недоступно топикстартеру). Пожалуйста, измените название топика. Дело в том, что словосочетание «Нестандартный анализ» уже занято. (И занято оно явно не тем, что предлагается к обсуждению в этом топике.)

Вообще-то я под "Нестандарным анализом" понимаю именно классическое его понимание.
А к обсуждению проедлагаю его "небольшую" модификацию.

Хотя да, я хотел изменить название но уже не могу.

Если модератору нетрудно то можно его изменить на "Нестандартный Нестандартный анализ"?

[PAV]

Заголовок изменен

[AGu]

Андрей АK в сообщении #292561 писал(а):

Если модератору нетрудно то можно его изменить на "Нестандартный Нестандартный анализ"?

Название вида «такая-то штука» традиционно раскрывается как «штука, являющаяся такой-то». Например, «целое число» — это «число, являющееся целым» и т.д. и т.п. Термин «нестандартный анализ» в этом смысле очень удачен, так как это действительно «анализ, являющийся нестандартным»: все факты классического анализа остаются справедливыми и в нестандартном анализе (здесь даже не нужно добавлять «в некотором смысле»). К сожалению, предлагаемый «нестандартный нестандартный анализ» нарушает этот принцип: он не является нестандартной версией нестандартного анализа. Насколько я понимаю, в нем предлагается (пока на наивном уровне) отменить чуть ли не все факты, справедливые как в нестандартном анализе, так и просто в анализе. Тут подошло бы название «наноанализ» — лапидарно и отражает суть — но, черт побери, тоже занято. Остается вариант «nonanalysis» («неанализ»).

[Андрей АK]

Какие это факты здесь отменяются?

Число эпсилон почти ничем не отличается от такого же в "Нестандартном анализе".
Дифференцирование (поскольку и там и там эпсилон - бесконечномалое) - будет идентично.
Предложение заменить степени - понижающими степенями, а дифференциалы - конечными разностями (по эпсилон) - также не должно ничего поменять в "известных фактах", поскольку конечные разности в пределе (при разностях стремящихся к нулю) превращаются в дифференциалы, а понижающие степени превращаются в обычные степени.

Единственное изменение - все "приблизительные формулы" (требующие непрерывности) превращаются в точные (поскольку конечные разности - это точные формулы).

Плюс, странные рассуждения о "перевернутой арифметике" - непонятно как это скажется на понимании действительных чисел и пр. (у числа пи ,например, могут оказаться ... последние биты! , как и у любого действительного числа).

Но это повлияет только на несущественные рассуждения - "воздушные замки".

Практика же - дифференциалы, интегралы - от "нововведения" никак не пострадает.

[venco]

Андрей АK, давайте попробуем ещё раз, подробнее.

Число, обозначаемое символом $0$ - это такое число, что если его прибавить к любому числу, то сумма будет точно равна этому числу, т.е.:

$$x+0=0+x=x\eqno{(1)}$$

Число, обозначаемое символом $1$ - это такое число, что если на него умножить любое число, то произведение будет точно равно этому числу, т.е.:

$$x\cdot 1=1\cdot x=x\eqno{(2)}$$

Число, обозначаемое символами $\frac 1 2$ - это такое число, что если его прибавить к самому себе - получится точно число $1$, т.е.:

$$\frac 1 2 + \frac 1 2= 1\eqno{(3)}$$

Ещё у нас есть дистрибутивный закон умножения:

$$(x+y)\cdot z= x\cdot z + y\cdot z\eqno{(4)}$$

С какой из формул $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ вы согласны?

[Андрей АK]

Да, забудьте, что я писал про особое сложение и умножение (это была версия).
Поэтому будут выполнятся все тождества.

[venco]

Андрей АK в сообщении #292670 писал(а):

Да, забудьте, что я писал про особое сложение и умножение (это была версия).
Поэтому будут выполнятся все тождества.

Итак, если вы согласны, то должны согласиться и с:

$$x = 1\cdot x = \left(\frac 1 2 + \frac 1 2\right)\cdot x = \frac 1 2 \cdot x + \frac 1 2 \cdot x \eqno{(5)}$$

[AGu]

Андрей АK в сообщении #292634 писал(а):

Какие это факты здесь отменяются?
Число эпсилон почти ничем не отличается от такого же в "Нестандартном анализе".

В классическом анализе (и в нестандартном анализе, разумеется, тоже) такого числа нет. Коль скоро Вы считаете, что сохраняете основные факты классического анализа, я делаю вывод, что Ваше эпсилон числом не является. Альтернативного определения понятия числа Вы не предложили. Следовательно, Вы неправомерно используете классический термин, заведомо меняя его смысл и не предлагая своего определения. Это, мягко говоря, непрофессионально.

[Андрей АK]

AGu в сообщении #292698 писал(а):

В классическом анализе (и в нестандартном анализе, разумеется, тоже) такого числа нет.

В классическом нет, а в "Нестандартном" - поищите описание "гипердействительных чисел" и там найдёте это число.

-- Пт фев 26, 2010 21:32:35 --

venco в сообщении #292688 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292670 писал(а):

Да, забудьте, что я писал про особое сложение и умножение (это была версия).
Поэтому будут выполнятся все тождества.

Итак, если вы согласны, то должны согласиться и с:

$$x = 1\cdot x = \left(\frac 1 2 + \frac 1 2\right)\cdot x = \frac 1 2 \cdot x + \frac 1 2 \cdot x \eqno{(5)}$$

Ну?

[Xaositect]

Значит, если $\frac 1 2 \varepsilon = 0$, то $\varepsilon = \frac 1 2 \varepsilon + \frac 1 2 \varepsilon = 0 + 0 = 0$

[venco]

Андрей АK в сообщении #292713 писал(а):

venco в сообщении #292688 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292670 писал(а):

Да, забудьте, что я писал про особое сложение и умножение (это была версия).
Поэтому будут выполнятся все тождества.

Итак, если вы согласны, то должны согласиться и с:

$$x = 1\cdot x = \left(\frac 1 2 + \frac 1 2\right)\cdot x = \frac 1 2 \cdot x + \frac 1 2 \cdot x \eqno{(5)}$$

Ну?

Что "ну"? Согласились или нет?

Продолжим про свойства $\varepsilon$:

$$\varepsilon > 0 \eqno{(6)}$$

Здесь нужна ваша помощь. Чему равно:

$$\frac 1 2 \cdot \varepsilon = ?$$