Задача о расположении 7 многоугольников

[Reebok]

Можно ли расположить на плоскости семь многоугольников(не обяз-но выпуклых) так, чтобы каждый многоугольник пересекался ровно с тремя другими?

Рисовал, получалось что 4 пересекаются ровно три раза а три остальных только по два.
Может быть есть какой-нибудь критерий пересечения?

Отделено от темы topic29889.html /АКМ

[Sasha2]

Для полной радости еще нужно показать, что если
1) $\alpha > \beta\geq{1}$
2) $a>b\geq{1}$

$то тогда a^{\alpha}\cdot{b^{\beta}}>a^{\beta}\cdot{b^{\alpha}}$,

но это уж очень тривиально

[Reebok]

ээ, я видать после сессии всё понимаю со второго раза)
Что это за четыре магических числа? )

[ИСН]

Забейте, это было про то.
С многоугольниками полезно рассмотреть более простой случай. Скажем, три штуки - и каждый пересекается только с одним. Получится так?

[Reebok]

Напрашивается вывод, что пересечений всегда будет только четное число?

[Maslov]

Мне почему-то кажется, что если у нас есть $n$ многоугольников, каждый из которых пересекается с $m$ другими многоугольниками, то $n\times m = 2k$, где $k$ - количество пересечений.

Другими словами, $n \times m$ должно быть чётным.

[Reebok]

Поиски контр примера, опровергающего это, найти не удалось - принимаем за аксиому)

[Maslov]

Зачем за аксиому?
$n \times m$ -- это количество "пятен контакта" (не знаю, как по-другому назвать). Каждое попарное пересечение многоугольников -- это два наложенных друг на друга "пятна контакта", поэтому пересечений в два раза меньше.

[Reebok]

И так тоже верно, спасибо, остались ещё добрые люди

[ArgMax]

Может тут стоит применить критерий планарности графов?

[Reebok]

Наврятли, ведь число вершин и сторон абсолютно любое, к тому же не рискну предположить что касание и пересечение многоугольников одно и тоже. Да и к тому же, в 11 классе это не проходят..

[AD]

Reebok в сообщении #283982 писал(а):

В 11 классе проходит домашняя олимпиада по математике, друг попросил решить ему задачки, 3 дня ломал голову, так и не смог ничего разобрать толком.
Предлагаю вашему вниманию на мой взгляд самую интересную задачу.

Reebok в сообщении #284019 писал(а):

И так тоже верно, спасибо, остались ещё добрые люди

Я, наверное, очень злой человек ... Но всё-таки.
Ничего если я правила форума напомню?

Цитата:

I. Нарушения и наказания

1) Нарушением считается:

...
о) Вынесение на обсуждение задач еще не прошедших он-лайн и заочных олимпиад.

Тема закрыта.