Уравнения из текстовых задач

[ShMaxG]

(Оффтоп)

gris, можно проще даже. Меняя $5^x$ и $35^x$ местами получим, что функция слева возрастает, а справа - убывает. Корень тогда один, очевидно - 0.

А в данном нам уравнении такой трюк не пройдет...

[Sasha2]

Во всяком случае пока непонятно (графическое решение - это не решение), является ли наличием второго корня равного -2 простым совпадением или закономерностью, того что соотношение между 5 и 7 типа $2*5^2-7^2=1$ может быть как-либо распространено на произвольные степени x.

[RIP]

Sasha2 в сообщении #263663 писал(а):

(графическое решение - это не решение)

Вы, наверно, неправильно поняли моё замечание. Я не предлагал находить корни графически. Я предложил использовать график для обоснования существования не более двух корней (типа: если функция строго монотонна, то не более одного решения, т.е. график даже чертить не надо), а сами корни, разумеется, приходится угадывать.

[Sasha2]

Да в том то все и дело, что уравнение это легко можно свести к типа

$2*5^{-x}-7^{-x}=1$
Далее сделать замену $x=-y$ и "усмотреть", что $1=2*5^2-7^2$
То есть получить $2*5^{y}-7^{y}=2*5^2-7^2$, но где здесь монотонность?

То есть в принципе, мне осталось непонятным, как показать, что эти два корня, 0 и -2, являются единственными корнями.

[RIP]

Sasha2 в сообщении #263717 писал(а):

То есть в принципе, мне осталось непонятным, как показать, что эти два корня, 0 и -2, являются единственными корнями.

А Вы всё-таки нарисуйте график. Достаточно грубого наброска, без исследования на точки пересечения с осью абсцисс, чётность/нечётность, асимптоты, выпуклость/впуклость...