Уравнения из текстовых задач

[vikvikvik]

№1. Дан прямоугольник со сторонами 155 см и 92 см. Построить прямоугольник с такой же площадью, но чтобы одна сторона была больше второй на 9 см. Использовать квадратные уравнения нельзя.
№2. Решить уравнение:
$7^x - 5^x = 35^x - 7^x$
№3. Дано 15 шаров, 2 из них радиоактивные. Дан дозиметр, который не показывает интенсивность излучения. В дозиметр встроена лампочка, которая загорается при поднесении его к радиоактивным элементам. За 7 измерений нужно найти 2 радиоактивных шара. За одно измерение можно измерять несколько шаров.

[ИСН]

Первая задача ("то нельзя, это нельзя") мне напоминает действия наших наркополицейских, которые в погоне за прекурсорами запретили уже изрядную часть химической промышленности. Вот и это примерно так же бессмысленно и противоестественно.
Во второй ответ ноль.
А третья - баян.

[Sintanial]

Ну вторую точно не знаю как решить аналитически НО после небольших преобразований получится $2(\frac 7 5 )^x=7^x+1$

Явно видно что решением будет одно так как графики пересекаются только в одной точке =).... легко можно догадаться что это 0

[meduza]

ИСН в сообщении #263383 писал(а):

Во второй ответ ноль.

Sintanial в сообщении #263389 писал(а):

Явно видно что решением будет одно

На самом деле их два, вы где-то потеряли $x=-2$

[Sasha2]

В первой задаче после разложения
155=5*31 и 92=4*23
сразу бросается в глаза переставить местами 4 и 5 и получить искомый прямоугольник.

[PAV]

vikvikvik
вокруг записи

7^x – 5^x = 35^x – 7^x

нужно поставить знаки долларов

$7^x – 5^x = 35^x – 7^x$

в результате чего она превращается в формулу $7^x - 5^x = 35^x - 7^x$

Обратите внимание, что это обязательное требование правил форума.

[Sasha2]

А как же можно получить решение этого уравнения аналитически или его только можно угадать?

[Taras]

$7^x-5^x=35^x-7^x$, $7^x-2\cdot (\frac 7 5 )^x+1=0$. Рассмотрим функцию $f(x)=7^x-2\cdot (\frac 7 5 )^x+1$
У ее производной один корень. Значит уравнение $f(x)=0$ имеет не больше 2 корней (следствие теоремы Ролля).Детали-сами.

[Sasha2]

Нет это не проходит. Задача школьная и там теоремы Ролля нет.
Но возвращаясь к самой задаче, значит вывод Ваш таков сами значения корней можно только угадать.
Понятно, спасибо.

[Taras]

В школе мне формулировали и доказывали теорему о том, что между нулями функции лежит нуль производной(фактически теорема Ролля).
Это трансцедентное уравнение решается подбором 2 корней и использованием того факта, что я написал. А в лоб я не знаю как можно решать.

[gris]

Знаю я эту задачу. Там в степенях семёрки и пятёрки стоит два икс. Сводится к квадратному уравнению. Один корень отбрасываем.
Задача про прямоугольник для шестого класса на метод рассуждений.

[Sasha2]

Ну покажите, пожалуйста, тогда решение.

[Maslov]

Sasha2 в сообщении #263601 писал(а):

Ну покажите, пожалуйста, тогда решение.

Может быть, лучше подождём, пока автор хоть что-нибудь сам придумает?

[gris]

Это не решение задачи топикстартера!!!

(Оффтоп)

$7^{2x}-5^{2x}=35^x-7^{2x}\,\Big|\, :7^{2x}\neq 0$

$1-(5/7)^{2x}=(5/7)^{x}-1;\,\,y=(5/7)^{x}$

$1-y^2=y-1$
$y^2+y-2=0$
$y_1=1;\,y_2=-2$
$(5/7)^{x}=1$
$x=0$ - корень
$(5/7)^{x}=-2 $- нет решений.

[RIP]

Да и без теоремы Ролля вполне можно обойтись: достаточно график нарисовать.