Black-Scholes – элементарное введение

[vek88]

Рассмотрим ценообразование опционов на элементарном уровне. Для понимания темы достаточно знания школьной математики и нескольких базовых понятий из элементарного курса теории вероятностей. Что касается экономики, предполагается знакомство с понятием приведенной стоимости (present value).

Разумеется, мы исключаем из рассмотрения риски, комиссии и/или банковскую маржу и тому подобные реалии. По этой причине процентные ставки у нас только безрисковые. Экономику считаем стабильной, в частности, процентные ставки постоянны во времени.

Чтобы, по возможности, приблизить наше общение к естественной «живой» форме предлагаю общаться в формате вопрос – ответы на него и/или комментарии. При исчерпании очередного вопроса (на элементарном уровне!) будем переходить к следующему. Светлая цель – придти к пониманию элементарной сути формул Блэка-Скоулса.

Поскольку у нас элементарное введение, начну совсем с простого вопроса.

Вопрос 1. Годовая безрисковая процентная ставка 5%. Через год мы ожидаем поступление 1,05 млн. руб. Чему равна приведенная стоимость этого будущего денежного потока сегодня? Другими словами, сколько стоит на рынке этот денежный поток сегодня?

Жду ответы, комментарии, вопросы.

[Шимпанзе]

vek88 в сообщении #254363 писал(а):

Вопрос 1. Годовая безрисковая процентная ставка 5%. Через год мы ожидаем поступление 1,05 млн. руб. Чему равна приведенная стоимость этого будущего денежного потока сегодня? Другими словами, сколько стоит на рынке этот денежный поток сегодня?

Видимо, 1млн. руб. Но чисто интуитивно ( с учетом тех же рисков и пр.), я бы вычислял все же как 1.05 х 1. 05 млн.руб. Нет?

[Maslov]

Шимпанзе в сообщении #254709 писал(а):

я бы вычислял все же как 1.05 х 1. 05 млн.руб.

Какой же смысл покупать сегодня за 1,102,500 актив, который через год принесет 1,050,000? Уж лучше под подушку деньги сложить.

[vek88]

Шимпанзе в сообщении #254709 писал(а):

Видимо, 1млн. руб. Но чисто интуитивно ( с учетом тех же рисков и пр.), я бы вычислял все же как 1.05 х 1. 05 млн.руб. Нет?

Интуиция права – действительно 1 млн. руб.

Однако, поскольку Вы ответили не очень уверенно, необходимы комментарии. Смысл приведенной стоимости можно объяснить следующим образом. Сегодняшний 1 млн. руб. стоит, разумеется, ровно 1 млн. руб.

Если я положу его на безрисковый депозит (у нас в теме пока рисков нет) на 1 год, то через год у меня будет 1,05 млн. руб.

Поскольку мы в этой теме не рассматриваем комиссии и банковскую маржу, депозит является справедливой сделкой, т.е. в день подписания депозитного договора наличный миллион и миллион на депозите стоят одинаково. Но миллион на депозите – это в точности 1,05 млн. руб. через 1 год.

С учетом сказанного, в день заключения депозитного договора я могу перепродать этот депозит на рынке по справедливой цене 1 млн. руб.

Сегодняшнюю справедливую цену будущего денежного потока принято называть приведенной стоимостью этого потока (present value, net present value, NPV). В нашем примере будущий поток получается начислением 5% на сегодняшний миллион. Следовательно, сегодняшний миллион получается обратной операцией – дисконтированием будущего потока на 5% (т.е. делением 1,05 млн.руб. на 1,05).

В общем случае, приведенная стоимость будущего денежного потока получается дисконтированием величины будущего потока на процентную ставку рассматриваемого сегмента рынка, соответствующую срочности будущего потока. В нашей теме – это безрисковая ставка (других у нас пока нет).

Пример использования приведенной стоимости дает ценообразование (pricing) облигаций – сегодняшняя рыночная цена облигации оценивается величиной приведенной стоимости этой облигации (сумма NPV купонов и номинала).

До сих пор мы рассматривали детерминированные (фиксированные) денежные потоки. А что, если будущий поток является случайной величиной?

Вопрос 2. Годовая безрисковая процентная ставка 5%. Через год с вероятностью 50% мы ожидаем поступление 2,10 млн. руб., а с вероятностью 50% мы ничего не получим. Чему равна приведенная стоимость этого будущего денежного потока сегодня?

[Шимпанзе]

Видимо, 1 млн. руб. Но интуиция мне подсказывает, что все же 0.5 млн. руб. Во всяком случае я бы исходил именно из этого показателя.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #254774 писал(а):

Вопрос 2. Годовая безрисковая процентная ставка 5%. Через год с вероятностью 50% мы ожидаем поступление 2,10 млн. руб., а с вероятностью 50% мы ничего не получим. Чему равна приведенная стоимость этого будущего денежного потока сегодня?

$\frac{2.10 * 0.5 + 0.0*0.5}{1.05} = 1$ (млн.)
ну при нейтральности к риску, конечно

[vek88]

finanzmaster в сообщении #255176 писал(а):

$\frac{2.10 * 0.5 + 0.0*0.5}{1.05} = 1$ (млн.)
ну при нейтральности к риску, конечно

Отлично! Это не просто ответ. Фактически, вы подсказали нам, что при рассмотрении вопросов ценообразования (без учета рисков!) стоимость случайного денежного потока (на дату этого потока) равна его среднему (математическому ожиданию). Соответственно, его приведенная стоимость получается дисконтированием этого среднего на величину безрисковой ставки.

Более того, Вы помогли нам осознать типичный для производных инструментов метод формирования случайного денежного потока. Суть этого метода состоит в следующем. Во-первых, мы имеем базовую переменную, которая является случайной величиной. В Вопросе 2 это была дискретная двоичная случайная величина (либо получим деньги, либо не получим). Для вероятностной характеристики случайной величины необходимо задать ее закон распределения. В Вопросе 2 закон распределения был определен посредством задания вероятностей каждого из двух значений случайной величины (50%).

Во-вторых, мы имеем «расчетную функцию», которая определяет конкретную величину денежного потока в «день исполнения» в зависимости от значения базовой переменной. В Вопросе 2 в зависимости от значения двоичной величины мы либо получали 2,1 млн. руб., либо ничего не получали.

В случае опционов в качестве базовых переменных обычно используются непрерывные случайные величины, например, цены акций, курсы валют, процентные ставки, температура на курорте и т.д. Далее мы ограничимся акциями. Соответственно, для вычисления среднего значения, необходимо знать плотность распределения вероятностей цены акции $S_T$ в будущий момент времени $T$. C помощью наводящих вопросов, попытаемся определить эту плотность распределения.

Вопрос 3. Каждый день акция растет на 1%. На сколько процентов вырастет акция за 100 дней?

[Шимпанзе]

На 170.48%! Тут интуиция не нужна.

[vek88]

Шимпанзе в сообщении #255716 писал(а):

На 170.48%! Тут интуиция не нужна.

Великолепно! Вы даже посчитали достаточно точно. Хотя, интуитивно, можно было сразу сказать, что цена вырастет примерно в $e$ раз, т.е. примерно в 2,72 раза (напомню, что речь идет о втором замечательном пределе, см. матанализ).

Но вернемся к теме. Вопрос 3 дает нам две подсказки: (1) о виде распределения и (2) непрерывном начислении процентов.

Рассмотрим (1). Мы видим, что "одинаковый" рост на 1% ежедневно не означает "одинаковый абсолютный" рост - это "одинаковый относительный рост". Отсюда следует, факторы, влияющие на цену акций, действуют на цену мультипликативно. И это не позволяет применить закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей к цене акций.

Но есть выход, если цена не подходит нам, то давайте рассмотрим логарифм цены. Со школы мы помним, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Ура! Теперь все здорово - бесчисленное множество факторов спроса и предложения действуют на логарифм цены аддитивно. Другими словами, логарифм изменения цены акции за какой-либо период времени равен сумме воздействий множества факторов.

Пример. У нас сто независимых одинаково распределенных двоичных случайных величин (как было в вопросе выше). Их сумма с большой точностью распределена по нормальному закону.

Итак, делаем вывод, что логарифм цены акции распределен по нормальному закону. Какой логарифм? Можно по любому основанию, но принято использовать натуральный логарифм, т.е. по основанию $e$.

Продолжение следует.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #255982 писал(а):

...
Итак, делаем вывод, что логарифм цены акции распределен по нормальному закону. Какой логарифм? Можно по любому основанию, но принято использовать натуральный логарифм, т.е. по основанию $e$.

Это не очень убедительная аргументация в пользу логнормального распределения, хотя в литературе встречаются подобные обоснования.
Меня больше убеждает статистический тест на [лог]нормальность или хотя бы Q-Q plot.

Но не суть, в конце концов вопрос, насколько наша предпосылка реалистична, с математической точки зрения не важно.
(что касается финансовой практики, то во времена Б-Ш логнормальность цен акций / нормальность returns, пожалуй, имели место, после кризиса 1987 г. - not anymore, хвосты распределений теперь тяжелые).

vek88 в сообщении #255982 писал(а):

Продолжение следует.

А вот теперь напряжение нарастает. Судя по всему, Вы хотите сказать, что логнормальное распредение определяется двумя параметрами, $\mu$ (средний доход по акции) и $\sigma$(волатильность). А потом взять мат. ожидание от Call-опциона ... но вот как Вы обоснуете переход от $\mu$ к $r$ (безрисковой банковской ставке) - вот это интересно.

[Шимпанзе]

finanzmaster в сообщении #256200 писал(а):

Но не суть, в конце концов вопрос, насколько наша предпосылка реалистична, с математической точки зрения не важно.

Очень важное замечание!

[Евгений Машеров]

А потом приходит грубая эмпирика и...

1. Распределение доходностей не является нормально распределённым. Это лишь приближение, и обоснование его не столько в "независимости изменений", сколько в хорошей математической разработанности его. Типичные "поиски под фонарём".
2. Рынок опционов никак не "риск-нейтрален". Рассматривая цены их, обнаруживаем отчётливую "плату за риск".

[vek88]

Господа! А с чего, позвольте спросить, мы начали. С BS на элементарном уровне. А такие реалии как fat tails, лептокуртозис и т.д. - это все так, но из другой оперы. Я ведь обещал без Винара и Ито - не более. Поэтому мы говорим о стандартной и общепринятой модели, которая иногда близка к практике, а иногда не очень. При этом статистические тесты (Колмогорова или др.) здесь не столь важны - мы и без них знаем, что на самом деле распределение не логнормально. А следовательно, формулы BS в реальной жизни не имеют места.

Итак, предлагаю придерживаться темы. А чтобы жизнь медом не казалась, следующий вопрос.

Вопрос 4. По четным дням акция растет на 1%, по нечетным падает на 1%. Что будет с ценой акции через 100 дней?

[Шимпанзе]

vek88 в сообщении #256470 писал(а):

Вопрос 4. По четным дням акция растет на 1%, по нечетным падает на 1%. Что будет с ценой акции через 100 дней?

Поднимется на 1 процент.

vek88 в сообщении #256470 писал(а):

мы и без них знаем, что на самом деле распределение не логнормально.

А какое ?

[venco]

Шимпанзе в сообщении #256495 писал(а):

vek88 в сообщении #256470 писал(а):

Вопрос 4. По четным дням акция растет на 1%, по нечетным падает на 1%. Что будет с ценой акции через 100 дней?

Поднимется на 1 процент.

Упадёт.