Попытка доказательства Теоремы Ферма

[venco]

natalya_1, давайте вы начиная с пункта 2.1 сразу будете включать объяснения словам помеченным звёздочками. Они совершенно неочевидны, и, скорее всего, ошибочны.

[natalya_1]

venco в сообщении #244296 писал(а):

natalya_1, давайте вы начиная с пункта 2.1 сразу будете включать объяснения словам помеченным звёздочками. Они совершенно неочевидны, и, скорее всего, ошибочны.

Вы правы, я немного поторопилась и ошиблась, упустила возможные варианты с двойкой и $n$.
Вечером все обстоятельно напишу.

[yk2ru]

Да и опечатки поправить не мешало бы, зачем их оставлять?

[Mopnex]

age в сообщении #244288 писал(а):

natalya_1
Напоследок, прежде чем покинуть тему напишу так: вы пишите, что прекрасно понимаете сложность задачи. Но при этом ищите такие тривиальные пути для ее решения, что даже самому Ферма (а он очень любил все гениальное и простое) стало бы смешно! Как вы пытаетесь доказать его теорему. Нет. Не понимаете. Иначе бы вы даже не пробовали те методы, которые используете.
Если бы вы хотя бы краем глаза видели хотя бы десятую часть тех сил и ресурсов, тех лет которые были брошены на доказательство теоремы - вы бы поняли, что данная область в математике ЗАКРЫТА.
Насколько несравненно более сложные методы использовали: Эйлер, Лежанр, Ламе, Софи Жермен (моя любимица), в конце концов Куммер! (кумир!)
Вы бы поняли, чего стоит в сравнении с этими трудами ваша попытка.
Эта тема изъезжена вдоль и поперек: от неравенств до производных. Непрохоженных путей здесь нет. Не было теории операторов. Вайлс взялся и доказал! Потому что область была нехоженая!
Поэтому если найдете новую область знаний - быть может там и будет заветный ключик. Как знать!? Но тривиальных путей нет и быть не может.

+5 Очень хорошо сказано.

[natalya_1]

Для продолжения необходимо доказать несколько важных положений:

2.1. $a^{m}+b^{m}=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^2-...-ab^{m-2}+b^{m-1})$,
${a^{m}+b^{m}=(a+b)(a^{m-2}(a+b)-2a^{m-3}b(a+b)+...-(m-1)b^{m-2}(a+b)+mb^{m-1})}$, следовательно, если $c$ не делится на $m$, то $a+b=k^n$, где $k$ - делитель $c$ (т.к. $c$ и $b$ - взаимно простые числа, $c$ и $m$ - взаимно простые числа
2.2 Если $m$ делит $c$, то $a^m+b^m=(a+b)((a+b)^{m-1}+Q)$,где $Q$ - целое число, $\frac{Q}{m}$- целое число (т.к. $a^m+b^m\not=(a+b)^m$). ${a(a^{m-1}-1)+b(b^{m-1}-1)=(a+b)((a+b)^{m-1}-1+Q) $, следовательно, $Q-1$ должно делиться на $m$, но $\frac{Q}{m}$ - целое число, следовательно, $c$ не может делиться на $m$ .
2.3.$c^m-b^m=(c-b)(c^{m-1}+c^{m-2}b+c^{m-3}b^2+...+cb^{m-2}+b^{m-1})}$, следовательно, если $a$ не делится на $m$ , то $c-b=k_1^{m}$, где $k_1$ - делитель $a$, (т.к. $a$ и $b$ - взаимно простые числа, $a$ и $m$ - взаимно простые числа.
Аналогично доказывается для $b$.
2.4. Если $m$ делит $a$, то $c^m-b^m=(c-b)((c-b)^{m-1}+Q_1)$, где $Q_1$ - целое число, $\frac{Q_1}{m}$ - целое число ( т.к. $c^m-b^m\not=(c-b)^m$). $c(c^{m-1}-1)- b(b^{m-1}-1)=(c-b)((c-b)^{m-1}-1+Q_1)$, следовательно, $Q_1$ должно делиться на $m$, но$\frac{Q_1}{m}$ - целое число, следовательно, $a$ не может делиться на $m$.
Аналогично доказывается для $b$.
2.5. $a^{m}+b^{m}=c^{m}$.
$a(a^{m-1}-1)+b(b^{m-1}-1)=c(c^{m-1}-1) + (a+b-c)$, следовательно, $\frac{a+b-c}{m}$ - целое число, $\frac{d}{m}$ - целое число.
2.6.$a^2+b^2-c^2=(a+b)^2-c^2-2ab$, $a^2+b^2-c^2=a^2-(c-b)(c+b)$, $a^2+b^2-c^2=b^2-(c-a)(c+a)$следовательно, $\frac{p}{m}$ - целое число, если $a$или $b$ делятся на $m$, $m$ не делит $p$, если $\frac{c}{m}$ - целое число.
2.7.Если $c$ - четное число, то $p=(a+b)^2-2ab-c^2=2s$, где $s$ - нечетное число.
$a+b-c=2t$.
2.8. Если $a$ или $b$ - четное число, то $p=a^2-(c-b)(c+b)=4s_1$. $d=a-(c-b)=2t_1$, где $t_1$ - нечетное число.

3.1.Итак, $(cd-p)a^{m}-c^{m-1}da^2+c^{m-1}pa=-(cd-p)b^{m}+c^{m-1}db^{2}-c^{m-1}pb $ Преобразуем выражение, получаем:
$-\frac{a}{b}={{\frac{(c^{m-1}-b^{m-1})p-(c^{m-2}-b^{m-2})bd}{(c^{m-1}-a^{m-1})p-(c^{m-2}-a^{m-2})ad}}$ . Числитель правой части делится на$c-b$, знаменатель- на $c-a$.

3.2.Следовательно, для того, чтобы выполнялось равенство,необходимо сократить числитель на $k_1^{m-1}$ , знаменатель - на $k_2^{m-1}$, где $c-b=k_1^{m}$,$c-a=k_2^{m}$.

[shwedka]

natalya_1 в сообщении #244589 писал(а):

Для продолжения необходимо доказать несколько важных положений:

Так доказывайте!!

[natalya_1]

4.1. Поскольку $c^{m-2}ad=k_1s_1$ (после сокращения $p$ и $d$ на $k_1$), ,$a^{m-1}d=k^{m-1}s_2$, $a^{m-1}p=k^{m+1}s_3, $ $c^{m-1}p=k_1s_4$ , первоначально мы можем сократить числитель на $k_1$, Далее попробуем сократить $cp-ad$ на $k_1^{m}$ (поскольку операцию проводим после взаимного сокращения $p$ и $d$ на $k_1$.$cp-ad=ca^2+cb^2-c^3-a^2-ab+ac=ca^2-c(c^2-b^2)-a^2+a(c-b)$ . Для этого необходимо, чтобы $ca^2-a^2$ делилось на $k_1^{m}$.
4.2. $ca^2-a^2=a^2(c-1)$, следовательно, числитель сокращается на $k_1^{m}$ только если $m=3$ и $c-1=a$ . Но поскольку аналогично сокращается знаменатель,
5.1. при $m>2$ уравнение не имеет решений.

[venco]

natalya_1, не спешите, у вас ошибки и бездоказательные утверждения уже в 2.1.

[natalya_1]

Посмотрите, пожалуйста, я отредактировала два последних сообщения.

[venco]

natalya_1 в сообщении #244589 писал(а):

2.1. $a^{m}+b^{m}=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^2-...-ab^{m-2}+b^{m-1})$,
${a^{m}+b^{m}=(a+b)(a^{m-2}(a+b)-2a^{m-3}b(a+b)+...-(m-1)b^{m-2}(a+b)+mb^{m-1})}$, следовательно, если $c$ не делится на $m$, то $a+b=k^n$, где $k$ - делитель $c$ (т.к. $c$ и $b$ - взаимно простые числа, $c$ и $m$ - взаимно простые числа

Опять пропустили большую часть рассуждений. В данном случае вроде бы верно, но мне пришлось самому доказывать, а это ваша задача.

Цитата:

2.2 Если $m$ делит $c$, то $a^m+b^m=(a+b)((a+b)^{m-1}+Q)$,где $Q$ - целое число, $\frac{Q}{m}$- целое число (т.к. $a^m+b^m\not=(a+b)^m$). ${a(a^{m-1}-1)+b(b^{m-1}-1)=(a+b)((a+b)^{m-1}-1+Q) $, следовательно, $Q-1$ должно делиться на $m$

А здесь я так и не понял, почему должно.

[natalya_1]

venco в сообщении #244887 писал(а):

Цитата:

2.2 Если $m$ делит $c$, то $a^m+b^m=(a+b)((a+b)^{m-1}+Q)$,где $Q$ - целое число, $\frac{Q}{m}$- целое число (т.к. $a^m+b^m\not=(a+b)^m$). ${a(a^{m-1}-1)+b(b^{m-1}-1)=(a+b)((a+b)^{m-1}-1+Q) $, следовательно, $Q-1$ должно делиться на $m$

А здесь я так и не понял, почему должно.

Здесь я сделала неправильный вывод и ошиблась. Но это не мешает доказательству. Из этого следует, что либо $a+b$, либо $(a+b)^{m-1}-1+Q)$ должны делиться на $m$. Но если $a+b$ делится на $m$, то и $Q-1$ должно делится на $m$, а это невозможно, т.к. $\frac{Q}{m}$ - целое число. Следовательно, $a+b$ не делится на $m$, $\frac{(a+b)^{m-1}-1}{m}$ - целое число. (кстати, если продолжить, легко доказывается, что $a$, $b$, $c$ не делятся на $m$: после того, как аналогично доказывается, что $c-a$ не делится на $m$, $c-b$ не делится на $m$, получаем: $2c-a-b$ не делится на $m$, но $m$ делит $a+b-c$, следовательно, $c$ не делится на $m$. Так же и с $a$, и с $b$ ).
Все это иследовалось для того, чтобы доказать, что сокращать дробь мы будем на $k_1^{m-1}$.
Поясняю пункт 2.1:


2.1. $a^{m}+b^{m}=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^2-...-ab^{m-2}+b^{m-1})$,
${a^{m}+b^{m}=(a+b)(a^{m-2}(a+b)-2a^{m-3}b(a+b)+...-(m-1)b^{m-2}(a+b)+mb^{m-1})}$, следовательно, $a^m+b^m=(a+b)((a+b)(a^{m-2}-2a^{m-3}b+...-(m-1)b^{m-2})+mb^{m-1})$. Если $c$ не делится на $m$, то $a+b=k^n$, где $k$ - делитель $c$ (т.к. $c$ и $b$ - взаимно простые числа, $c$ и $m$ - взаимно простые числа и у $((a^{m-2}-2a^{m-3}b+...-(m-1)b^{m-2})(a+b)+mb^{m-1})$ и $(a+b)$ нет общего множителя).

[venco]

natalya_1 в сообщении #244912 писал(а):

venco в сообщении #244887 писал(а):

Цитата:

2.2 Если $m$ делит $c$, то $a^m+b^m=(a+b)((a+b)^{m-1}+Q)$,где $Q$ - целое число, $\frac{Q}{m}$- целое число (т.к. $a^m+b^m\not=(a+b)^m$). ${a(a^{m-1}-1)+b(b^{m-1}-1)=(a+b)((a+b)^{m-1}-1+Q) $, следовательно, $Q-1$ должно делиться на $m$

А здесь я так и не понял, почему должно.

Здесь я сделала неправильный вывод и ошиблась. Но это не мешает доказательству. Из этого следует, что либо $a+b$, либо $(a+b)^{m-1}-1+Q)$ должны делиться на $m$. Но если $a+b$ делится на $m$, то и $Q-1$ должно делится на $m$

Почему должно?

[natalya_1]

venco , я плохо сформулировала свою мысль. Прошу меня извинить. Постараюсь не торопиться и в следующем посте как следует все изложить , чтобы было понятно, что я имею в виду.

[natalya_1]

Начну с начала.

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^n+y^n=z^n$ не имеет целочисленных решений при $n>2$. Попробуем доказать обратное.


1.1. Предположим, что такое решение существует, при $x=a$, $y=b$, $z=c$, $n=m$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа, $a\not=b$ , пусть $a>b$,$m$- целое число >2.
Тогда $a^m+b^m=c^m$.

1.2. $a+b=c+d$, где$d$ - целое положительное число.
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$-целое положительное число.
1.3. $a+b-c=d$, $a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$,
$bd-p=ba+b^2-bc-a^2-b^2+c^2=(c-a)(c+a)-b(c-a)=(c-a)(c+a-b)$ . $c>a$, $c+a>b$, $a>b$, $c>b$, следовательно,$ad-p>0$, $bd-p>0$, $cd-p>0$.
1.4. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^m+b^m=c^m$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^ma(ad-p)+c^mb(bd-p)=a^mc(cd-p)+b^mc(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^m-c^{m-1}da^2+c^{m-1}pa=-((cd-p)b^m-c^{m-1}db^2+c^{m-1}pa)$ .
Левая часть равенства представляет собой значение функции $y=(cd-p)x^m-c^{m-1}dx^2+c^{m-1}px$ при $x=a$, а правая - при $x=b$, взятое с противоположным знаком.
Равенство будет выполняться в двух случаях:
1.4.1.если значение функции при $x=a$ и$x=b$ равно 0.
или 1.4.2.если функция в точках $a$и$b$ принимает одинаковые значения разных знаков.
Рассмотрим каждый из случаев.
1.5.. Пусть $(cd-p)a^m-c^{m-1}da^2+c^{m-1}pa=0$, $(cd-p)b^m-c^{m-1}db^2+c^{m-1}pb=0$, тогда $a^{m-1}(cd-p)=c^{m-1}(ad-p)$,$b^{m-1}(cd-p)=c^{m-1}(bd-p) $, ($ad-p>o$, $bd-p>0$,$cd-p>o$ (п.1.3)), следовательно, $\frac{a^{m-1}}{ad-p}}=\frac{b^{m-1}}{bd-p}}=\frac{c^{m-1}}{cd-p}$
1.6. Исследуем функцию $y=\frac{x^{m-1}}{xd-p}}$ .
$y'=\frac{(m-1)x^{m-2}(xd-p)-dx^{m-1}}{(xd-p)^2}$,$xd-p\not=o$, $\frac{p}{d}$-точка разрыва.
Найдем точки экстремума:
$y'=0$ $(m-1)x^{m-2}(xd-p)-x^{m-1}d=0$. $x=0$ или$(m-1)(xd-p)-xd=0$, $(m-1)xd=(m-1)p$,
$x=\frac{(m-1)p}{(m-2)d}$
Так как на сегменте $]0;c]$ существует только одна точка экстремума, первый вариант(1.4.1) невозможен.


2.1. Рассмотрим второй возможный вариант.
Итак, $(cd-p)a^{m}-c^{m-1}da^2+c^{m-1}pa=-(cd-p)b^{m}+c^{m-1}db^{2}-c^{m-1}pb $ Преобразуем выражение, получаем:
$-\frac{a}{b}={{\frac{(c^{m-1}-b^{m-1})p-(c^{m-2}-b^{m-2})bd}{(c^{m-1}-a^{m-1})p-(c^{m-2}-a^{m-2})ad}}$ . Числитель правой части делится на$c-b$, знаменатель- на $c-a$.
$c^m-b^m=(c-b)(c^{m-1}+c^{m-2}b+c^{m-3}b^2+...+b^{m-3}c^2+b^{m-2}c+b^{m-1})$ Поскольку в множителе $(c^{m-1}+c^{m-2}b+c^{m-3}b^2+...+b^{m-3}c^2++b^{m-2}c+b^{m-1})$ $m$ слагаемых, равенство преобразуем:
$c^m-b^m=(c-b)(c^{m-2}(c-b)+2c^{m-3}b(c-b)+...+(m-2)cb^{m-3}(c-b)+(m-1)b^{m-2}(c-b)+mb^{m-1})$
Отсюда, если $a$ не делится на $m$, то $c-b=k^{m}$, где $k$ - общий делитель $c-b$ и $a$ (т.к. $c-b$ и $m$ - в этом случае взаимно простые числа, $c-b$ и $b$ - взаимно простые числа.
Если $a$ делится на $m$ и $c-b$ делится на $m$, то $c-b=m^{m-1}k_1^{m}$, где $k_1$ - целое число.

2.2.Следовательно, чтобы равенство $ -\frac{a}{b}}=\frac{(c^{m-1}-b^{m-1})p-(c^{m-2}-b^{m-2}bd}{(c^{m-1}-a^{m-1})p-(c^{m-2}-a^{m-2})ad}$ было верным, необходимо сократить числитель на $k^{m-1}$, если $a$ не делится на $m$, или на $m^{m-2}k_1^{m-1}$, если $m$ делит $a$. Аналогично надо сократить знаменатель.

2.3. $d=a+b-c=a-(c-b)$, следовательно, $d$ делится на $k$ (если $a$ не делится на $m$, и $mk_1$ делит $d$, если $m$ делит $c-b$).
$p=a^2+b^2-c^2=a^2-(c-b)(c+b)$, следовательно, $p$ делится на $k^2$ ( если $a$ не делится на $m$) или на $m^2k_1^2$ (если $m$ делит $c-b$).
Следовательно, дробь мы сразу можем сократить на $k$ (если $a$ не делится на $m$) или на $mk_1$ (если $m$ делит $a$ и$c-b$).
Аналогично с сокращением знаменателя.

3.1. Итак, попробуем сократить .
Ищем общий множитель у числителя и знаменателя $(c^{m-1}p-a^{m-1}p-c^{m-2}ad+a^{m-1}d)$.
$a^{m-1}(p-d)$ сокращается на $k^{m}$ (если $a$ не делится на $m$) или на $m^mk_1^{m}$, если $m$ делит $a$. Следовательно, необходимо сократить $c^{m-2}(cp-ad)$ на $k^m$ (если $a$ не делится на $m$, или на $m^{m-1}k_1^{m}$ (если $m$ делит $a$ и $m$ делит $c-b$), поскольку у $p$ и $d$ есть общий множитель $k$ (или во втором случае $mk_1$), на который мы можем сократить дробь изначально.
$cp-ad=ca^2+cb^2-c^3-a^2-ab+ac=ca^2-c(c-b)(c+b)-a^2+(c-b)a$. $c(c-b)(c+b)$ и $a(c-b)$ сокращаются на $k^m$ (или во втором случае на $m^{m-1}k_1^{m}$), следовательно, надо сократить $a^2(c-1)$ на $k^{m}$ (если $a$ не делится на $m$) или на $m^{m-1}k_1^{m}$ (если $m$ делит $a$ и $m$ делит $c-b$).
Поскольку аналогично надо сократить знаменатель, получаем, что аналогично надо сократить $b^2(c-1)$. Но это возможно ( при $m>2$ и $a>b$) только в одном случае: если $c-b=m^{m-1}k_1^{m}$, $k_1=1$, $m=3$ и (поскольку $a>b$), если $a=c-1$ и $c-b=9$.

При $m>3$ уравнение не имеет решений.

4.1. При $m=3$ получаем: $c-a=1$, $c-b=9$. Отсюда $a-b=8$, следовательно, $c$ - четное число и $(a+b)=8s^3$, где $s$ - целое число. ($a^3+b^3=c^3$, $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, $a$и $b$ - нечетны, , следовательно,$a^2-ab+b^2$- нечетно). Следовательно, $(a+b)-(a-b)=8s^3-8=8(s^3-1)=2b$, а это невозможно, т.к. если $c$ - четное число, то $a$ и $b$ - нечетны. Следовательно, при $m=3$ уравнение $x^n+y^n=z^n$ также не имеет решений.

[venco]

natalya_1 в сообщении #245693 писал(а):

Если $a$ делится на $m$ и $c-b$ делится на $m$, то $c-b=m^{m-1}$.

Нет, мы можем сказать только, что $c-b=m^{m-1} k^m$. Причём $k$ может ещё делиться на $m$.

Дальнейшее читать невозможно. Предлагаю рассмотреть эти два случая отдельно, причём, если $a$ делится на $m$, то вводите новое обозначение $a=m\cdot a_1$ и выражайте остальные величины через них. Я почти уверен, что ничего на этом пути не выйдет.