Условие инъективности отображения.

[fnake]

Вопрос. Есть ли какие то условия того, что отображение $f=(f_1,\dots, f_n):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ является инъективным?

[Хорхе]

Например, матрица производных единична

А если кроме шуток, то нет таких условий.

[terminator-II]

fnake в сообщении #243629 писал(а):

Вопрос. Есть ли какие то условия того, что отображение $f=(f_1,\dots, f_n):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ является инъективным?

например

$$\det\frac{\partial f}{\partial x}(x)\ne 0,\quad x\in\mathbb{R}^n$$

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #243746 писал(а):

например

$$\det\frac{\partial f}{\partial x}(x)\ne 0,\quad x\in\mathbb{R}^n$$

А разве это гарантирует инъективность всего отображения? Мне казалось, что этого достаточно лишь для инъективности в некоторой окрестности каждой точки.

[RIP]

Ага, сразу на ум приходит нечто вроде
$f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$.

[fnake]

terminator-II в сообщении #243746 писал(а):

[
например

$$\det\frac{\partial f}{\partial x}(x)\ne 0,\quad x\in\mathbb{R}^n$$

Это верно только для линейных отображений.

[Профессор Снэйп]

fnake в сообщении #243827 писал(а):

Это верно только для линейных отображений.

Не только

Но что не для всех верно, это точно. Хотя бы потому, что произвольное отображение вообще не обязано быть дифференцируемым. Даже непрерывным быть не обязано.

У Вас какая-то прикладная задача или просто абстрактный вопрос в голове возник?

[terminator-II]

Есть такая теорема: если $\|(df)^{-1}(x)\|<c$ при всех $x$ то $f$ биекция ($c$ от $x$ не зависит). Эта теорема справедлива в случае банаховых пространств. Как-то я подумал, что в конечномерном случае хватит невырожденностя якобиана, ан нет.