2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Условие инъективности отображения.
Сообщение15.09.2009, 17:07 
Вопрос. Есть ли какие то условия того, что отображение $f=(f_1,\dots, f_n):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ является инъективным?

 
 
 
 Re: Условие инъективности отображения.
Сообщение15.09.2009, 20:00 
Аватара пользователя
Например, матрица производных единична :)

А если кроме шуток, то нет таких условий.

 
 
 
 Re: Условие инъективности отображения.
Сообщение16.09.2009, 09:41 
fnake в сообщении #243629 писал(а):
Вопрос. Есть ли какие то условия того, что отображение $f=(f_1,\dots, f_n):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ является инъективным?

например
$$\det\frac{\partial f}{\partial x}(x)\ne 0,\quad x\in\mathbb{R}^n$$

 
 
 
 Re: Условие инъективности отображения.
Сообщение16.09.2009, 14:05 
Аватара пользователя
terminator-II в сообщении #243746 писал(а):
например
$$\det\frac{\partial f}{\partial x}(x)\ne 0,\quad x\in\mathbb{R}^n$$


А разве это гарантирует инъективность всего отображения? Мне казалось, что этого достаточно лишь для инъективности в некоторой окрестности каждой точки.

 
 
 
 Re: Условие инъективности отображения.
Сообщение16.09.2009, 14:17 
Аватара пользователя
Ага, сразу на ум приходит нечто вроде
$f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$.

 
 
 
 Re: Условие инъективности отображения.
Сообщение16.09.2009, 16:09 
terminator-II в сообщении #243746 писал(а):
[
например
$$\det\frac{\partial f}{\partial x}(x)\ne 0,\quad x\in\mathbb{R}^n$$


Это верно только для линейных отображений.

 
 
 
 Re: Условие инъективности отображения.
Сообщение16.09.2009, 16:16 
Аватара пользователя
fnake в сообщении #243827 писал(а):
Это верно только для линейных отображений.


Не только :)

Но что не для всех верно, это точно. Хотя бы потому, что произвольное отображение вообще не обязано быть дифференцируемым. Даже непрерывным быть не обязано.

У Вас какая-то прикладная задача или просто абстрактный вопрос в голове возник?

 
 
 
 Re: Условие инъективности отображения.
Сообщение18.09.2009, 17:57 
Есть такая теорема: если $\|(df)^{-1}(x)\|<c$ при всех $x$ то $f$ биекция ($c$ от $x$ не зависит). Эта теорема справедлива в случае банаховых пространств. Как-то я подумал, что в конечномерном случае хватит невырожденностя якобиана, ан нет.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group