Интегрируемость в элементарных функциях

[Алексей К.]

Хотелось бы порыскать в классе действительных функций $f(x)$, таких, что ${\mathrm e}^{{\mathrm i} f(x)}$ интегрируется в элементарных функциях. К таковым, например, относятся

$$f(x)=\sqrt[3]{\sqrt{a+x^2}+x}-\sqrt[3]{\sqrt{a+x^2}-x},$$

$$f(x)=\arctan\sqrt{{\mathrm e}^x-1},$$

но не относится

$$f(x)=x^2.$$

Конечно, сам критерий --- "интегрируемость в элементарных функциях" --- не особо формализован, и какого-либо простого описания этого класса я не жду. Но, может быть, можно указать достаточно широкие подклассы, или неизвестные мне подходы к анализу вопроса.

Спасибо.

[Brukvalub]

Посмотрите, например, статью Прасолова вот в этом выпуске "Математического просвещения" : http://www.mccme.ru/free-books/matpros8.html

[Алексей К.]

Спасибо, ---
не думал, что на подобного рода вопросы имеются столь чёткие ответы.
(Я имею в виду и Ваш, и Прасолова ответы).

[chainreaction]

Здравствуйте уважаемые участники!

Скажите пожалуйста, найден ли уже критерий того, что неопределённый интеграл от функции одной переменной выражается через элементарные функции? Или быть может, есть какое-то менее сильное утверждение на этот счёт?

И ещё один вопрос на похожую тему. Слышал о том, что есть некий алгоритм Риша, который позволяет вычислить интеграл в элементарных функциях, если заведомо известно, что можно это сделать. Не знает ли кто изложение этого алгоритма на примитивном уровне, доступном среднему инженеру?

Заранее благодарен за ответы,
Григорий

// темы объединены. maxal

[gris]

про неберущиеся функции что-то обсуждали весной http://dxdy.ru/topic22168.html

[chainreaction]

Да, спасибо за ссылочку! Как я понял, в той теме для мен самое важное -- это статья В. В. Прасолова. Но это не совсем то, что я ожидал.
В ней есть критерий элементарности интеграла специального вида. А есть ли что-то подобное для интегралов общего вида?

[Nxx]

Есть алгоритм Рича, который гарантированно дает ответ в элементарных функциях или дает ответ, что данная функция не интегрируема в элементарных. Проблема только в том, что он очень сложен, настолько, что ни одна программа еще не умеет его полностью выполнять.

[chainreaction]

Короче говоря, изложения алгоритма Риша/Рича в научно-популярной форме или близко к этому в литературе быть не может?

Слышал, что боле-менее сносно его реализовали только в Аксиоме.

[Алексей К.]

Нашёл в Википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm.

[chainreaction]

Алексей К. в сообщении #242336 писал(а):

Нашёл в Википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm.

Спасибо! В этой заметке есть ссылка на статью про т. Лиувиля, а там вот такая фраза:

Цитата:

The machinery of differential Galois theory allows one to determine when an elementary function does or does not have an antiderivative that can be expressed as an elementary function.

Так что копать мне в сторону этой самой теории полей им. Галуа )