Так о чем арифметика?

[Свободный Художник]

Что изучается в арифметике: числа или операции над ними?
Ведь кажется, что именно операции (точнее, свойства этих операций, например, коммутативность и т. д.).

А сами по себе числа представляют собой нечто совершенно неопределенное и неопределимое, нечто, что без всякого ущерба может быть названо “сепульками”. У Гудстейна на этот счет имеется хорошая аналогия арифметики с шахматной игрой:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмыссленны.
Аналогично можно сказать, что геометрия – это наука не о фигурах, а о свойствах отношений инцидентности и теория множеств – не о множествах а об отношении принадлежности.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

Что изучается в арифметике: числа или операции над ними?
Ведь кажется, что именно операции (точнее, свойства этих операций, например, коммутативность и т. д.).

А если сказать, что то и другое вместе?

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

А сами по себе числа представляют собой нечто совершенно неопределенное и неопределимое, нечто, что без всякого ущерба может быть названо “сепульками”.

Я бы сказал: "строка вертикальных чёрточек". Чем плохое определение?

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

У Гудстейна на этот счет имеется хорошая аналогия арифметики с шахматной игрой:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

"Что делает некоторую конкретную фигуру королём? Ясно, что это не очертания этой фигуры и не её размер, ибо и то, и другое может быть по желанию изменено".

На мой взгляд, это - рассуждение человека, замороченного на математических абстракциях (того самого математика из анекдота, который в ответ на вопрос путешественников о том, где они находятся, подумав, сказал: "На воздушном шаре"). Для нормального человека, понятия не имеющего об абстрактных шахматах, фигуру (идентифицируемую именно по её очертаниям и размеру) делает королём тот факт, что её так назвали. Показали пальцем и сказали: "Запомни, вот это - король". А уж как эта фигура ходит, он пока что может и не знать.

Кстати, игру, определяемую совокупностью правил (в том числе и правилами о том, как ходит король), делает "шахматами" то, что её так назвали.

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмыссленны.
Аналогично можно сказать, что геометрия – это наука не о фигурах, а о свойствах отношений инцидентности и теория множеств – не о множествах а об отношении принадлежности.

Всё "хвилософствуете"?

Разумеется, если говорить об абстрактном понятии, из которого исключены все представления о его возможных применениях и оставлены только формальные описания свойств и отношений, то дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #225720 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмыссленны.
Аналогично можно сказать, что геометрия – это наука не о фигурах, а о свойствах отношений инцидентности и теория множеств – не о множествах а об отношении принадлежности.

Всё "хвилософствуете"?

Разумеется, если говорить об абстрактном понятии, из которого исключены все представления о его возможных применениях и оставлены только формальные описания свойств и отношений, то дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

Но ведь в теоретической арифметике числовые системы как раз-то и рассматриваются именно как абстрактные системы объектов.

Цитата:

Под системой объектов мы будем иметь в виду (непустое) множество объектов, между которыми установлены некоторые соотношения... Если об объектах системы мы ничего не знаем, кроме соотношений, имеющихся между ними в системе, то такая система называется абстрактной. В этом случае устанавливается только структура системы, а природа ее объектов остается неопределенной во всех отношениях, кроме одного, -- что они согласуются с этой структурой. Всякая дальнейшая спецификация природы объектов дает представление (или модель) этой абстрактной системы, т. е. систему объектов, удовлетворяющих соотношениям абстрактной системы и, кроме того, обладающих, вообще говоря, и другими свойствами.

Клини К. С. “Введение в метаматематику”, 1957, сс. 29 – 30.

В частности, так любимая Вами арифметика Пеано должна специфицировать именно некоторую абстрактную систему объектов (ведь арифметика Пеано – это pure mathematics, а не applied).
http://en.wikipedia.org/wiki/Pure_mathematics
http://en.wikipedia.org/wiki/Applied_mathematics

[epros]

Свободный Художник в сообщении #225754 писал(а):

epros в сообщении #225720 писал(а):

Разумеется, если говорить об абстрактном понятии, из которого исключены все представления о его возможных применениях и оставлены только формальные описания свойств и отношений, то дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

Но ведь в теоретической арифметике числовые системы как раз-то и рассматриваются именно как абстрактные системы объектов.

Так я и говорю, что если говорить об абстрактных объектах, то рассуждать об их "природе" бессмысленно, ибо Вы эту самую "природу" исключили, когда абстрагировались от реальных применений этих абстрактных понятий.

[STilda]

Что такое определение объекта? Это указание его взаимосвязей с другими объектами. Потому любая наука строится не на объектах а на связях между ними. Объект это название для комплекса связей.
Дискуссии о "природе чисел" скорее имеют своей целью выявить в другой сфере жизни такую же систему взаимосвязей как у понятия Число.

[Dialectic]

STilda в сообщении #225856 писал(а):

Объект это название для комплекса связей.

Для связей чего с чем?

[STilda]

хороший вопрос.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #225720 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

У Гудстейна на этот счет имеется хорошая аналогия арифметики с шахматной игрой:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

"Что делает некоторую конкретную фигуру королём? Ясно, что это не очертания этой фигуры и не её размер, ибо и то, и другое может быть по желанию изменено".

На мой взгляд, это - рассуждение человека, замороченного на математических абстракциях (того самого математика из анекдота, который в ответ на вопрос путешественников о том, где они находятся, подумав, сказал: "На воздушном шаре"). Для нормального человека, понятия не имеющего об абстрактных шахматах, фигуру (идентифицируемую именно по её очертаниям и размеру) делает королём тот факт, что её так назвали. Показали пальцем и сказали: "Запомни, вот это - король". А уж как эта фигура ходит, он пока что может и не знать.

А к концепции Гильберта о формальном аксиоматическом методе Вы как относитесь?
http://www.px-pict.com/9/6/6/1/3/2.html

Рассуждение Гудстейна вполне в русле этого метода.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #227088 писал(а):

А к концепции Гильберта о формальном аксиоматическом методе Вы как относитесь?
http://www.px-pict.com/9/6/6/1/3/2.html

Рассуждение Гудстейна вполне в русле этого метода.

Честно говоря, не понял всей глубины различий между "материальной" и "формальной" аксиоматиками. Разумеется, в формально записанной теории и аксиоматика "формальная". А если теория находит применение в реальности, то можно сказать, что её аксиоматика приобретает какое-то "реальное содержание". Почему нужно противопоставлять одно другому?

[Свободный Художник]

epros в сообщении #227133 писал(а):

Честно говоря, не понял всей глубины различий между "материальной" и "формальной" аксиоматиками.

Как?! Вы ничего не слышали о столах, стульях и пивных кружках?

Цитата:

Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Другими словами, назвать ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками, это будут те объекты, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле это похоже на то, как значение неизвестного слова проясняется по мере использования его в различных контекстах. Каждое дополнительное предложение, в котором оно участвует, исключает некоторые значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих предложениях.

http://ega-math.narod.ru/Reid/p2.htm#08

[epros]

Свободный Художник в сообщении #227391 писал(а):

epros в сообщении #227133 писал(а):

Честно говоря, не понял всей глубины различий между "материальной" и "формальной" аксиоматиками.

Как?! Вы ничего не слышали о столах, стульях и пивных кружках?

Я не понимаю противопоставления "материальной" и "формальной" аксиоматик.

Понятное дело, что "точка" и "прямая" в бытовом смысле - это то, что можно провести карандашом. После того, как мы абстрагируемся от "несущественных" свойств этих объектов, а оставшиеся "существенные" формулируем в виде аксиом, мы получаем математическое определение этих объектов. Почему нужно говорить о том, что бытовое понимание - бессмысленно, а формальное - правильно (или наоборот)?

Свободный Художник в сообщении #227391 писал(а):

Цитата:

Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Другими словами, назвать ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками, это будут те объекты, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле это похоже на то, как значение неизвестного слова проясняется по мере использования его в различных контекстах. Каждое дополнительное предложение, в котором оно участвует, исключает некоторые значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих предложениях.

http://ega-math.narod.ru/Reid/p2.htm#08

Гм... Что первично: курица или яйцо? То бишь: "бытовой" смысл, т.е. понимание практических способов применения понятия, или "формальный математический"?

[Свободный Художник]

epros в сообщении #227409 писал(а):

Я не понимаю противопоставления "материальной" и "формальной" аксиоматик.

Понятное дело, что "точка" и "прямая" в бытовом смысле - это то, что можно провести карандашом. После того, как мы абстрагируемся от "несущественных" свойств этих объектов, а оставшиеся "существенные" формулируем в виде аксиом, мы получаем математическое определение этих объектов.

Дык, … ведь не объектов же! Не объектов!!!

Даже если взять для примера “материальную” аксиоматику:
Кокстер Х.С.М.
Действительная проективная плоскость.
Пер. с англ. Т. В. Солнцевой под ред. проф. А. А. Глаголева.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 28 — 44:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/1.html,

то ведь нет там “аксиом точек”. И “аксиом прямых” тоже нет. А вот аксиомы отношений инцидентности имеются:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/4.html

-- Чт июл 09, 2009 00:47:43 --

А, вот, если считать, что арифметика – это “наука о числах”, то дело можно и так повернуть.
Известно, что точки можно складывать и умножать:
http://www.px-pict.com/9/6/4/6/1.html
(выдержка из той же книги Кокстера)

Если принять, что точки – это фигуры, то получается, что арифметика – это “наука о фигурах” (для определенности будем считать, что мы говорим сейчас об арифметике положительных рациональных чисел).

[epros]

Свободный Художник в сообщении #227473 писал(а):

Дык, … ведь не объектов же! Не объектов!!!
...
то ведь нет там “аксиом точек”. И “аксиом прямых” тоже нет. А вот аксиомы отношений инцидентности имеются:

Ну и что? Это просто особенность традиционного синтаксиса теорий: "объекты" соответствуют предметным переменным и константам, а аксиомы, естественно, представляют собой высказывания, т.е. логические формулы (без свободных переменных). Поскольку "отношения" и "свойства" - это как раз формулы, то понятно, что высказывания записываются именно через них.

Например, в указанном мной Выше примере "недоарифметики" выражения вида $x \in \mathbb{N}$ можно понимать как "свойство" объекта $x$ "являться натуральным числом". Однако, в этой теории самой по себе никаких переменных нет (не определены в синтаксисе), так что можно вообще не говорить об "объектах", о "свойствах" или об "отношениях" - только о "теоремах".

Свободный Художник в сообщении #227473 писал(а):

Если принять, что точки – это фигуры, то получается, что арифметика – это “наука о фигурах” (для определенности будем считать, что мы говорим сейчас об арифметике положительных рациональных чисел).

И зачем Вам нужны эти замены слов? Чтобы сбить с толку пользователей теории? Можно сказать, что любая теория - это "теория о значках", потому что она с формальной точки зрения представляет собой просто набор правил манипулирования значками. Но у теорий обычно есть и какое-то назначение, касающееся её предполагаемых применений.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #227473 писал(а):

А, вот, если считать, что арифметика – это “наука о числах”, то дело можно и так повернуть.
Известно, что точки можно складывать и умножать:
http://www.px-pict.com/9/6/4/6/1.html
(выдержка из той же книги Кокстера)

Если принять, что точки – это фигуры, то получается, что арифметика – это “наука о фигурах” (для определенности будем считать, что мы говорим сейчас об арифметике положительных рациональных чисел).

epros в сообщении #227525 писал(а):

И зачем Вам нужны эти замены слов? Чтобы сбить с толку пользователей теории? Можно сказать, что любая теория - это "теория о значках", потому что она с формальной точки зрения представляет собой просто набор правил манипулирования значками. Но у теорий обычно есть и какое-то назначение, касающееся её предполагаемых применений.

Чудно как-то пишите.
Разве Вам неведомо, что в математике изучаются системы объектов с точностью до изоморфизма? Что как раз-то и предполагает, что “объекты” (т. е. элементы множества-носителя системы) – это ничто, тогда как отношения между объектами – это все.
Именно отношения между объектами характеризуются в аксиоматике, а не сами объекты.
В этом суть гильбертовского подхода к аксиоматике геометрии и в этом суть цитировавшихся выше пассажей Гудстейна, сравнившего арифметику с шахматной игрой.

При изоморфных отображениях сохраняется общая структура системы, а не ее объекты. Так что числа вполне могут стать фигурами, лишь бы отношения между ними сохранились.

epros в сообщении #225720 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмыссленны.
Аналогично можно сказать, что геометрия – это наука не о фигурах, а о свойствах отношений инцидентности и теория множеств – не о множествах а об отношении принадлежности.

Всё "хвилософствуете"?

Не “хвилософствую” я, а просто такова математическая се ля ви.

-- Чт июл 16, 2009 00:58:15 --

Свободный Художник в сообщении #227391 писал(а):

Как?! Вы ничего не слышали о столах, стульях и пивных кружках?

Цитата:

Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Другими словами, назвать ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками, это будут те объекты, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле это похоже на то, как значение неизвестного слова проясняется по мере использования его в различных контекстах. Каждое дополнительное предложение, в котором оно участвует, исключает некоторые значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих предложениях.

http://ega-math.narod.ru/Reid/p2.htm#08

Да, да… Конечно…. Очень правильное наблюдение. Не зря же я писал о сепульках:

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):

Что изучается в арифметике: числа или операции над ними?
Ведь кажется, что именно операции (точнее, свойства этих операций, например, коммутативность и т. д.).

А сами по себе числа представляют собой нечто совершенно неопределенное и неопределимое, нечто, что без всякого ущерба может быть названо “сепульками”.

Таким образом, уважаемый epros, объекты (в частности, числа) – это всего лишь только сепульки. А вовсе не “строки вертикальных черточек”, как Вам почему-то кажется.

[epros]

Уважаемый Свободный Художник! Мы с Вами ходим уже по третьему или четвёртому кругу. Я уже сказал Вам, что если Вы хотите рассматривать "объекты" абстрактно, т.е. исключительно с точки зрения до предела урезанной аксиоматики, то пожалуйста. Но тогда не надо удивляться, что такой объект оказывается "сепулькой" и

epros в сообщении #225720 писал(а):

дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

Но это не означает, что у математических теорий в принципе и не должно быть применений, с позиций которых можно было бы судить о том "для чего эта теория" и "что именно она описывает". Некоторые вот считают, что только в применениях и состоит ценность теорий.

Кстати, касательно "чёрточек": Тут в параллельной ветке, обсуждая возможности дать определение тому, что понятие "определено в теории", мы предварительно пришли к выводу, что в теориях, содержащих константы, могут быть определены операции и отношения на вполне конкретных объектах, представляющих собой замкнутые термы теории. Например, для арифметики Пеано таковыми объектами являются строки $0$, $S(0)$, $S(S(0))$, ...