Некоммутативность возведения в степень

[ewert]

А у меня до куркулятора руки не дошли. Просто непосредственно равны $27^3$ и $(3^3)^3$. А думать о том, равно ли это ещё и $3^9$ -- мне как-то и в голову не пришло.

Кстати, а вот что пришло мимоходом. А встречаются ли в природе операции коммутативные, но не ассоциативные?... Чего-то сходу ничего не могу сообразить...

[shust]

ewert в сообщении #238135 писал(а):

А встречаются ли в природе операции коммутативные, но не ассоциативные?...

Вы меня немножко опередили с вопросом. Я хочу задать вопрос несколько более широкий.
Какова связь для числовых операций коммутативности и ассоциативности и их отрицаний?

Например, следует ли из коммутативности числовых операций их ассоциативность и наоборот? Также некоммутативность связана с их неассоциативностью или нет?

[Хорхе]

ewert в сообщении #238135 писал(а):

Кстати, а вот что пришло мимоходом. А встречаются ли в природе операции коммутативные, но не ассоциативные?... Чего-то сходу ничего не могу сообразить...

Классический пример "из природы" -- "камень, ножницы, бумага". Произведение = победитель.

[Mathusic]

shust в сообщении #238140 писал(а):

ewert в сообщении #238135 писал(а):

А встречаются ли в природе операции коммутативные, но не ассоциативные?...

Например, следует ли из коммутативности числовых операций их ассоциативность и наоборот? Также некоммутативность связана с их неассоциативностью или нет?

Это дело частенько постулируется, то есть требуется группа по умножению и сложению.

[mrbus]

shust в сообщении #238140 писал(а):

ewert в сообщении #238135 писал(а):

А встречаются ли в природе операции коммутативные, но не ассоциативные?...

Вы меня немножко опередили с вопросом. Я хочу задать вопрос несколько более широкий.
Какова связь для числовых операций коммутативности и ассоциативности и их отрицаний?

Например, следует ли из коммутативности числовых операций их ассоциативность и наоборот? Также некоммутативность связана с их неассоциативностью или нет?

Известно, что в древности коммутативность не вводилась и считалась "естественно следующей" из ассоциативности. Позже показали, что это не так, и коммут-ть стали вводить отдельно. Простой пример: вращения кубика-рубика ассоциативны (операция композиции вообще всегда ассоциативна), но не коммутативны: повернуть переднюю грань, потом правую - результат будет другой, чем повернуть правую, потом переднюю.
По поводу того, следует ли асс-ть из комм-ти - честно, не знаю. Скорее всего, также нет. Недаром в абелевой группе аксиому асс-ти не "удаляют".
П. С. Это не только для чисел, вообще для любых операций.

Автору темы. Вам стоит почитать, что вообще есть математика, её роль и место в науке и её основания (это чтобы вы коммутативность не выводили по индукции ). Уж не сочтите за оскорбление в очередной раз.
Сорри, не автору темы, а Phoenix1

[ewert]

mrbus в сообщении #238818 писал(а):

По поводу того, следует ли асс-ть из комм-ти - честно, не знаю. Скорее всего, также нет.

Я просто вдруг заметил, что никаких контрпримеров на слуху нет.

[Hottabych]

Операция a*b=ab+1на множестве действительных чисел будет коммутативной, но не ассоциативной.
1*(2*3)=1*(6+1)=1*7=7+1=8
(1*2)*3=(2+1)*3=3*3=9+1=10

[mrbus]

Hottabych в сообщении #238850 писал(а):

Операция a*b=ab+1 на множестве действительных чисел будет коммутативной, но не ассоциативной.

Браво. Показательно

[Mathusic]

mrbus в сообщении #238862 писал(а):

Hottabych в сообщении #238850 писал(а):

Операция a*b=ab+1 на множестве действительных чисел будет коммутативной, но не ассоциативной.

Браво. Показательно

А что вы напрягаетесь? Хорхе же давно пример дал.

[naiv1]

Mathusic в сообщении #239249 писал(а):

А что вы напрягаетесь? Хорхе же давно пример дал.

Я по своей наивности не вполне понял его

Хорхе в сообщении #238141 писал(а):

Классический пример "из природы" -- "камень, ножницы, бумага". Произведение = победитель.

Можете пояснить?

[Mathusic]

naiv1 в сообщении #239273 писал(а):

Mathusic в сообщении #239249 писал(а):

А что вы напрягаетесь? Хорхе же давно пример дал.

Я по своей наивности не вполне понял его

Хорхе в сообщении #238141 писал(а):

Классический пример "из природы" -- "камень, ножницы, бумага". Произведение = победитель.

Можете пояснить?

Правила игры знают все. Тогда определим операцию "спор" $\circ$, которая из любых 2-ух эл-тов из множества $\{k,n,b\}$ (камень, ножницы, бумага соответственно) выбирает тот, который выиграет в споре. Очевидно, что операция неассоциативна, но комммутативна.
(например $k=k \circ (n \circ b) \not=(k \circ n) \circ b=b$). Всё просто.

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #239290 писал(а):

...определим операцию "спор" $\circ$, которая из любых 2-ух эл-тов из множества $\{k,n,b\}$ (камень, ножницы, бумага соответственно) выбирает тот, который выиграет в споре.

Нужно ещё определить значения $x \circ x$ для $x \in \{ k,n,b \}$

-- Пн авг 31, 2009 10:34:17 --

По поводу того, что ассоциативность не следует из коммутативности... Можно ли привести пример коммутативного, но не ассоциативного кольца?

[Someone]

А.Н.Курош. Лекции по общей алгебре. "Наука", Москва, 1973.

Глава II, § 2, пункт 4.

Цитата:

Если в ассоциативном кольце $R$ сохранить его аддитивную группу, а операцию умножения заменить операцией симметрирования

$$a\cdot b=ab+ba\text{,}$$

то будет получено кольцо $R^{(+)}$, в котором для любых элементов $a,b$ выполняются равенства

$$a\cdot b=b\cdot a\text{,}\eqno{(5)}$$

$$[(a\cdot a)\cdot b]\cdot a=(a\cdot a)\cdot(b\cdot a)\text{.}\eqno{(6)}$$

...
Всякое кольцо, удовлетворяющее условиям (5) и (6), называется йордановым. В общем случае оно неассоциативное; к йордановым кольцам принадлежат, впрочем, все ассоцмативно-коммутативные кольца.

Думаю, что надо взять ассоциативное, но некоммутативное кольцо, и применить к нему описанную конструкцию.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #239303 писал(а):

Mathusic в сообщении #239290 писал(а):

...определим операцию "спор" $\circ$, которая из любых 2-ух эл-тов из множества $\{k,n,b\}$ (камень, ножницы, бумага соответственно) выбирает тот, который выиграет в споре.

Нужно ещё определить значения $x \circ x$ для $x \in \{ k,n,b \}$

-- Пн авг 31, 2009 10:34:17 --

По поводу того, что ассоциативность не следует из коммутативности... Можно ли привести пример коммутативного, но не ассоциативного кольца?

А разве не очевидно, что $\forall x$ $x \circ x = x$? Тем более, так как пример неассоциативности уже есть, невозможно переопределить операцию для квадрата так, чтобы она стала ассоциативной.

[Хорхе]

Профессор Снэйп в сообщении #239303 писал(а):

Нужно ещё определить значения $x \circ x$ для $x \in \{ k,n,b \}$

Ну, если камень против камня, тогда кто победитель? Палюбому камень.