Какой логарифм больше?

[Sonic86]

Даны $log_a(b)$ и $log_c(d)$. $a,b,c,d$ - натуральные.
Надо определить, какой из них больше (равенство исключаем как тривиальный случай).

Уже несколько раз такие задачи видел,а вот простого общего метода решения придумать не могу.
Придумал такое:
Если $x=log_a(b), y=log_c(d), x \neq y$, то умножая $x,y$ на достаточно большое число $k$ можно добиться того, $kx$ отличается от $ky$ более чем на 1. И тогда находим целые части $log_a(b^k), log_c(d^k)$ хотя бы перебором степеней и выбираем большее, откуда находим, какой логарифм больше.
Но метод чисто вычислительно трудоемок.
Хотелось бы какой-нибудь простой метод увидеть, а не обращаться к матанализу за помощью.
Вот, для примера: $log_3(10); log_4(18)$.

[Dan B-Yallay]

Формулы замены основания логарифма не помогают?

[Sonic86]

Dan-B-Yallay писал(а):

Формулы замены основания логарифма не помогают?

Это намек или вопрос?
Если это намек, то, например:
$log_3(10) ? log_4(18)$
$log_4(10) ? log_4(18)log_4(3)$
$log_4(10) ? log_4(18)log_4(3)$
$10 ? 18^{log_4(3)}$
И дальше как?

[gris]

А ежели так. Рассмотрим отношение логарифмов

$$\frac{\log_310}{\log_418}=\frac{\ln10\cdot\ln4}{\ln18\cdot\ln3}=...>1$$

[ewert]

А что такое $\ln10\cdot\ln4$? Тут есть простор для фантазии. Исписать пару строчек, вернуться к исходному выражению, и -- по второму кругу...

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Формулы замены основания логарифма не помогают?

Лучше всего остального помогает калькулятор

Кстати, никто не помнит, как без калькулятора выяснить, что больше: $e^\pi$ или $\pi^e$?

[Nxx]

разложить в ряд Тейлора и сравнить.

[RIP]

Профессор Снэйп в сообщении #209855 писал(а):

Кстати, никто не помнит, как без калькулятора выяснить, что больше: $e^\pi$ или $\pi^e$?

Я помню.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Я помню.

А я не помню Догадаться-то хоть можно или сложно там?

[Xaositect]

Профессор Снэйп в сообщении #209865 писал(а):

Догадаться-то хоть можно или сложно там?

Можно через исследование $\frac {x} {\ln x}$ на экстремумы

[RIP]

Всё просто. Надо сравнить $e^x$ и $x^e$ при $x>0$. Если коротко, то
$e^x=e^{e+e(x/e-1)}>e^{e+e\ln(x/e)}=x^e$, $x\ne e$.

[Профессор Снэйп]

Xaositect писал(а):

Можно через исследование $\frac {x} {\ln x}$ на экстремумы

Точно! $e^\pi > \pi^e$, причём действительно очень легко!

RIP писал(а):

Всё просто. Надо сравнить $e^x$ и $x^e$ при $x>0$. Если коротко, то
$e^x=e^{e+e(x/e-1)}>e^{e+e\ln(x/e)}=x^e$, $x\ne e$.

И экстремум можно без дифференцирования искать!

[La|Verd]

И все же, возвращаясь к начальной теме, есть ли общий метод решения таких задач?

[LetsGOX]

Профессор Снэйп Калькулятор правда лучше помогает
А что касается $e^\pi$ и $\pi^e$ то тут очевидно что в первом случае получается около 23 а во втором окло 22

[bot]

Когда мне давали эту задачу, мысль о калькуляторе мне даже в голову не приходила.