Интеграл от 1/x

[ewert]

AGu в сообщении #229082 писал(а):

ewert в сообщении #229077 писал(а):

Поэтому разводить константы слева и справа, приписывая им разные индексы -- совершенно бессмысленно.

Нет.

Хоть один контрпример.

[AGu]

ewert в сообщении #229084 писал(а):

Хоть один контрпример.

Ох, сердце -- не камень.
Раз так просят, придется превозмочь лень.

Итак, мы, вроде, согласились с тем, что
неопределенный интеграл -- это множество всех первообразных.
Если $D$ -- открытое подмножество $\mathbb R$ и $f:D\to\mathbb R$,
то первообразной функции $f$ называется всякая функция $F:D\to\mathbb R$,
удовлетворяющая условию $F'(x)=f(x)$ для всех $x\in D$.
Стало быть, $\int f(x)dx = \{F:D\to\mathbb R \mid (\forall\,x\in D)\ F'(x)=f(x)\}$.
По традиции запись вида

$F(x)+C$

используют для обозначения множества

$\{G:D\to\mathbb R \mid (\exists\,c\in\mathbb R)(\forall\,x\in D)\ G(x)=F(x)+c\}$,

а запись вида

$\begin{cases}F_1(x)+C_1:&x\in D_1,\\F_2(x)+C_2:&x\in D_2\end{cases}$

-- для обозначения множества

$\{G:D\to\mathbb R \mid (\exists\,c_1,c_2\in\mathbb R)(\forall\,x\in D)$
$G(x)=F_1(x)+c_1$ при $x\in D_1$,
$G(x)=F_2(x)+c_2$ при $x\in D_2\}$.

Ох, мне что-то опять стало лень. Точно надо продолжать?

[ewert]

AGu в сообщении #229099 писал(а):

Ох, мне что-то опять стало лень. Точно надо продолжать?

Надо-надо. Вы так и не привели ни одного примера, где вся эта красота могла бы использоваться.

Пыс. Нормальные люди определяют первообразную на промежутке -- за заведомой бессмысленностью этого понятия на несвязном множестве.

[terminator-II]

ewert в сообщении #229077 писал(а):

Дело в том, что в данном случае первообразная по определению не задана на всей оси (пусть даже и с дыркой в нуле). Поэтому разводить константы слева и справа, приписывая им разные индексы -- совершенно бессмысленно. Это абсолютно бесполезная и никому не нужная информация.

дело в том, что смысл формулы всем понятен. но раз уж вопрос возник, то надо просто напомнить, что в определение первообразной входит еще и ее область определения и это область уж никак не $\mathbb{R}\backslash\{0\}$. а именно это и может показаться ,если смотреть на логарифм модуля

[ewert]

terminator-II в сообщении #229106 писал(а):

а именно это и может показаться ,если смотреть на логарифм модуля

Если и может, то только по безграмотности. Ещё раз: всё это -- лишь ловля блох, содержательные вопросы возникнут только при попытке вычисления интегралов, а тут уж вся эта возня с индексами не имеет значения, человек или понимает, что он делает -- или не понимает.

[AGu]

ewert в сообщении #229103 писал(а):

Нормальные люди определяют первообразную на промежутке -- за заведомой бессмысленностью этого понятия на несвязном множестве.

Ну, раз меня причислили к ненормальным, не вижу смысла продолжать.

P.S. Коллеги ASA и terminator-II, вы, кажется, тоже свихнулись.

P.P.S. Впрочем, после ответа terminator-II я уже не уверен в его ненормальности.
Почему, собсно, область определения первообразной не $\mathbb R\backslash\{0\}$?
Впрочем, умолкаю. Я же псих.

[Виктор Викторов]

ASA в сообщении #229003 писал(а):

ИС в сообщении #226020 писал(а):

$\int\frac{dx}{x} = ln|x| +c$

С этим можно поспорить. Вот так правильно.
$ \int\frac{dx}{x} = \left\{ \begin{array}{cc} \ln x+C_1, & x>0; \\ \ln(-x)+C_2, & x<0. \\ \end{array} \right. $

ewert в сообщении #229005 писал(а):

ASA в сообщении #229003 писал(а):

С этим можно поспорить.

С этим невозможно спорить. Неопределённый интеграл -- это по определению есть множество всех первообразных. И ровно так он и описывается. Бантики же, какими бы ни были они фигуристыми -- это вроде фигурных скобок явно лишнее.

Бантики вроде фигурных скобок задают другую совокупность функций. Достаточно заметить, что $\int\frac{dx}{x} = ln|x| +c$ при любом $c$ чётная функция,
$ \int\frac{dx}{x} = \left\{ \begin{array}{cc} \ln x+C_1, & x>0; \\ \ln(-x)+C_2, & x<0. \\ \end{array} \right. $
Не является ни чётной, ни не чётной (исключение при равных константах). И, наконец, пример
$\int\frac{dx}{x} = \left\{ \begin{array}{cc} \ln x+2, & x>0; \\ \ln(-x)+8, & x<0. \\ \end{array} \right. $
Эта функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Взяв её производную, получаем ответ о множестве первообразных.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #229114 писал(а):

Эта функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Взяв её производную, получаем ответ о множестве первообразных.

Во-первых, о множестве -- не получим. А во-вторых: кому и для каких целей мог бы понадобиться такой ответ?...

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #229117 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #229114 писал(а):

Эта функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Взяв её производную, получаем ответ о множестве первообразных.

Во-первых, о множестве -- не получим.

Это вольность речи. Вы прекрасно понимаете, о чём мы говорим.

ewert в сообщении #229117 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #229114 писал(а):

А во-вторых: кому и для каких целей мог бы понадобиться такой ответ?...

А это подмена тезиса. Мы не обсуждаем кому, что нужно.

$y = \left\{ \begin{array}{cc} \ln x+2, & x>0; \\ \ln(-x)+8, & x<0. \\ \end{array} \right. $
Функция определена на $\mathbb{R}\backslash\{0\}$. И дифференцируема в каждой точке $\mathbb{R}\backslash\{0\}$. Так почему её нельзя продифференцировать?

ewert в сообщении #229108 писал(а):

terminator-II в сообщении #229106 писал(а):

а именно это и может показаться ,если смотреть на логарифм модуля

Если и может, то только по безграмотности. Ещё раз: всё это -- лишь ловля блох, содержательные вопросы возникнут только при попытке вычисления интегралов, а тут уж вся эта возня с индексами не имеет значения, человек или понимает, что он делает -- или не понимает.

Действительно, неопределённый интеграл определён на промежутке, но это (надеюсь) не помешает взять производную функции $y = \left\{ \begin{array}{cc} \ln x+2, & x>0; \\ \ln(-x)+8, & x<0. \\ \end{array} \right. $ А заодно и спросить: чем такое ограничение обосновано?

[AGu]

Ой, чуть не забыл! Уважаемый доктор ewert, пожалуйста, не забудьте при случае известить авторов статьи Antiderivative об их тяжелом недуге. (Ну а местных авторов учебников и монографий я, с Вашего позволения, сам проинформирую, кого найду.)

Все, более не тревожу. Извините.

[ewert]

AGu в сообщении #229133 писал(а):

Ой, чуть не забыл! Уважаемый доктор ewert, пожалуйста, не забудьте при случае известить авторов статьи Antiderivative об их тяжелом недуге.

Нет уж, извините:

Цитата:

antiderivative, primitive or indefinite integral

Нехай сами разбираются в своей писанине; чай, не дети.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #229133 писал(а):

Ой, чуть не забыл! Уважаемый доктор ewert, пожалуйста, не забудьте при случае известить авторов статьи Antiderivative об их тяжелом недуге. (Ну а местных авторов учебников и монографий я, с Вашего позволения, сам проинформирую, кого найду.)

Все, более не тревожу. Извините.

Спасибо!!

ewert в сообщении #229140 писал(а):

Нехай сами разбираются в своей писанине; чай, не дети.

Это не их писанина. Это всехняя писанина.

[terminator-II]

AGu в сообщении #229109 писал(а):

Почему, собсно, область определения первообразной не $\mathbb R\backslash\{0\}$?

ну надо просто взять учебник по анализу и посмотреть определение первообразной, а не по википедии образовываться.

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #229149 писал(а):

надо просто взять учебник по анализу и посмотреть определение первообразной, а не по википедии образовываться.

Объясните, пожалуйста, почему с Вашей точки зрения бессмысленно рассматривать первообразную на несвязном (хотя бы в одной точке) множестве.

[terminator-II]

Виктор Викторов в сообщении #229152 писал(а):

terminator-II в сообщении #229149 писал(а):

надо просто взять учебник по анализу и посмотреть определение первообразной, а не по википедии образовываться.

Объясните, пожалуйста, почему с Вашей точки зрения бессмысленно рассматривать первообразную на несвязном (хотя бы в одной точке) множестве.

мы сейчас всетаки не точки зрения обсуждаем, а стандартные определения. в соответствие со стандартным определением первообразная вводится на промежутке.

с моей точки зрения это разумно. потому, что основное приложение первообразной -- формула Ньютона Лейбница.