Интеграл от 1/x

[terminator-II]

AGu в сообщении #229196 писал(а):

Ведь всякий здравомыслящий человек осознает всю бесполезность разговора о «первообразной» (ну не бред ли?) функции, область определения которой не является промежутком. Тем временем, недуг с длинным названием «попытка определить первообразную функции $1/x$» распространен и весьма опасен. Даже с виду разумные авторы многих учебников им страдают

ссылку дайте

[Виктор Викторов]

Nxx в сообщении #229169 писал(а):

http://www.kantiana.ru/mathematics/umk/analis28.pdf
http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/k ... node3.html
http://www.mathematics.ru/courses/funct ... heory.html

Спасибо за ссылки.

[AGu]

terminator-II в сообщении #229229 писал(а):

AGu в сообщении #229196 писал(а):

Ведь всякий здравомыслящий человек осознает всю бесполезность разговора о «первообразной» (ну не бред ли?) функции, область определения которой не является промежутком. Тем временем, недуг с длинным названием «попытка определить первообразную функции $1/x$» распространен и весьма опасен. Даже с виду разумные авторы многих учебников им страдают

ссылку дайте

Ссылку на что? На учебник «с виду разумного» автора? Ну дык Вы сами ее уже давали:

terminator-II в сообщении #229184 писал(а):

читаем Фихтенгольца:
"Функция $F(x)$ в данном ПРОМЕЖУТКЕ называется первообразной..."

А ссылки противоположного характера в учебниках найти трудно. И я, вроде, намекнул, почему. Впрочем, все, поезд отшумел, я уже успокоился.

Виктор Викторов в сообщении #229231 писал(а):

Nxx в сообщении #229169 писал(а):

http://www.kantiana.ru/mathematics/umk/analis28.pdf
http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/k ... node3.html
http://www.mathematics.ru/courses/funct ... heory.html

Спасибо за ссылки.

Вежливость -- конечно, прежде всего, но, откровенно говоря, за первую ссылку я бы не поблагодарил. Бяка еще та. Приведенные на первой же странице «теоремы» таковыми не являются.

Кстати, предлагаю вариант «раскрытия неопределенности», который, возможно, устроит всех нас. Запись $\ln|x|+C$ является ответом на следующую задачу: Найти формулу для неопределенного интеграла функции $f(x)=\frac1x$, подходящую для любого промежутка, лежащего в естественной области определения функции $f$.

P.S. На всякий случай -- еще раз: я успокоился. (Что, впрочем, вовсе не означает, что я излечился! )

[ewert]

AGu в сообщении #229458 писал(а):

Кстати, предлагаю вариант «раскрытия неопределенности», который, возможно, устроит всех нас. Запись $\ln|x|+C$ является ответом на следующую задачу: Найти формулу для неопределенного интеграла функции $f(x)=\frac1x$, подходящую для любого промежутка, лежащего в естественной области определения функции $f$.

Зачем такие сложности?...

Запись $\int f(x)dx=F(x)+C$ по определению означает, что при данной фиксированной функции $F(x)$ множество всех первообразных функции $f(x)$ представляет собой $\left\{g_{{}_C}(x)=F(x)+C\right\}_{\forall C\in\mathbb R}$ -- для любого отрезка, на котором это вообще имеет смысл.

Ну так для $f(x)={1\over x}$ и $F(x)=\ln|x|$ это и верно.

------------------------------------------------
Вот, кстати, родственный вопрос, но более содержательный:

как грамотно записать $\displaystyle\int{dx\over1-x^2}$?

[AGu]

ewert в сообщении #229471 писал(а):

AGu в сообщении #229458 писал(а):

Кстати, предлагаю вариант «раскрытия неопределенности», который, возможно, устроит всех нас. Запись $\ln|x|+C$ является ответом на следующую задачу: Найти формулу для неопределенного интеграла функции $f(x)=\frac1x$, подходящую для любого промежутка, лежащего в естественной области определения функции $f$.

Зачем такие сложности?...

Я же сказал: для того, чтобы это устроило всех нас. Меня это устравивает. Вас, как я погляжу, тоже. Цель достигнута? Ну вот и славно.

[Legioner93]

ewert в сообщении #229471 писал(а):

Вот, кстати, родственный вопрос, но более содержательный:

как грамотно записать $\displaystyle\int{dx\over1-x^2}$?

$-\frac{1}{2}\ln{\frac{|x-1|}{|x+1|}+C$

[Padawan]

Попробую внести свежую струю, раз уж все равно тему вытащили. Запись $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|$ разумна, так как $\int\frac{dz}{z}=\ln z=\ln|x|+i\arg z$, так что я бы даже записал

$$ \int\frac{dx}{x} = \left\{ \begin{array}{cc} \ln |x|, & x>0; \\ \ln|x|+\pi i, & x<0. \\ \end{array} \right. $$

[ewert]

Padawan в сообщении #301585 писал(а):

Попробую внести свежую струю, раз уж все равно тему вытащили. Запись $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|$ разумна, так как $\int\frac{dz}{z}=\ln z=\ln|x|+i\arg z$,

а ещё струёвистее наструячу. Неразумно, ессно, ибо пока что никаких "i" нет и довольно долго ещё не предвидится. Во всяком случае в том, что касается именно логарифмов. Забегать же поперёд ТФКП -- невместно. (Я всегда стараюсь избегать этого соблазну, во всяком случае.)

[Alexoid]

Ну да, ещё комплексных чисел тут не хватает с мнимой единицей, тут и так фсе ясно деление на ноль потому и модуль, может это по нубски, зато просто и понятно))))))