Помогите решить маленькую задачку...

[vio]

Я не математик, мне нужно для домашних целей...
Пожалуйста, помогите найти высоту ($h_1...n$ или $B_1D_1$) любого произвольного вписанного в окружность треугольника $AB_1C$, если известны только: такая же общая основа (a или AC) вписанного в окружность равнобедренного треугольника ABC, его высота (h или BD) и основа ($a_1$ или $a_2$) у одного из прямоугольных $AB_1D_1$ или $CB_1D_1$ этого нового произвольного треугольника $AB_1C$. (если a=$a_1+a_2$).

К сожалению, я замкнулся в этом решении только на известных следующих соотношениях, которых мне недостаточно, что бы найти высоту $h_1$:
- у равнобедренного ABC: $R=b^2/(2h)=(h^2+(a/2)^2)/(2h)=a/(2\sin\alpha)$
- у любого произвольного $AB_1C: R=(b_1c_1)/(2h_1)$
теперь нужно как-то найти стороны $b_1$ и $c_1$, чтобы найти $h_1$ или противоположные им углы!

[AKM]

vio,
Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Индексы и степени пишутся так: $AB_1C $ ($AB_1C $), $(h/2)^2 $ [ $(h/2)^2 $ ], $\sin \alpha $ ($\sin \alpha $).
Код формулы достаточно окружить знаками доллара.

[AKM]

Я постараюсь подсказать Вам в Ваших обозначениях. Только замечу, что они плохие. Традиционно и всюду стороны, противолежащие углам A,B,C обозначают a,b,c. Стало быть, Ваши подвижный уголок я бы обозначил А, а фиксированную хорду AC пришлось бы обозначить CB. Но поскольку уже есть рисунок и текст, я постараюсь подсказать Вам в Ваших обозначениях. Только искомую высоту обозначу $x$.
Здесь Вам мог бы сгодиться тот факт, что угол при бегающей вершине постоянен. Но проще (по сути --- эквивалентно) постоянство радиуса описанной окружности R.
Добавлять текст буду сюда же по возможности.

-- Пт июн 12, 2009 21:48:19 --

Хотя, судя по тому, что Вы правильно нашли R, Вы справитесь и сами. Площадь тр-ка $AB_1C$ можно выразить двояко:

$$ S=\frac{ah_1}2=\frac{a b_1 c_1}{4R},$$

что принимает вид уравнения с одним неизвестным:

$$ (S=)\quad\frac{\not \!a x}2=\frac{\not \!a \sqrt{a_1^2+x^2} \sqrt{a_2^2+x^2}}{4R},$$

Спрашивайте, если чего непонятно

[Батороев]

Задача не маленькая, а очень маленькая.
Высота, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу.

[AKM]

Батороев в сообщении #221756 писал(а):

Высота, опущенная на гипотенузу, равна...

Про прямоугольность треугольника вроде ничего не было сказано. И на рисунке он явно не такой.
А задачка да, простая, просто сначала почему-то отпугнула и показалась громоздкой. Наверное, от плохой нотации (уже подправленной автором).

[Батороев]

То ли я не заметил (то ли автор подправил), что треугольник не на диаметре.

[vio]

AKM в сообщении #221684 писал(а):

Спрашивайте, если чего непонятно

Большое спасибо АКМ за подсказку.
Дальше пытаюсь решить сам, но опять я, к сожалению, застрял на этом :

и дальше не знаю как перенести весь x в левую сторону.
Помогите, пожалуйста!

[TOTAL]

$$\frac{h_1^2}{(h_1^2+a_1^2)(h_1^2+a_2^2)}=Const$$

А константу найдите из равнобедренного тр-ка.

[vio]

TOTAL в сообщении #222217 писал(а):

А константу найдите из равнобедренного тр-ка.

может быть: $\frac{h}{a}$ !?
Но всеравно - не пойму, как дальше упростить, и как в левую сторону перенести единственную неизвестную $h_1$ (x).

Я учил геометрию 23 года назад. Сейчас листаю учебники. Пытаюсь освежить в памяти. Но мне довольно тяжело. А надо дома для бытовых целей.

[AKM]

TOTAL в сообщении #222217 писал(а):

$$\frac{h_1^2}{(h_1^2+a_1^2)(h_1^2+a_2^2)}=Const$$

А константу найдите из равнобедренного тр-ка.

Сначала перенесите вверх:

$$h_1^2=C(h_1^2+a_1^2)(h_1^2+a_2^2), \qquad \left\{C=\frac{h^2}{[h^2+(a/2)^2]^2}=\frac{16h^2}{[4h^2+a^2]^2} \right\}$$

Теперь легко перенесётся хоть вправо, хоть влево. Если про биквадратное уравнение почитать негде, обозначьте $h_1^2=z$, и будет всё квадратно.
А картинки вместо формул тоже запрещены.
Хотя, должен признаться, изображённое там тянет на шедевр сюрреализма.

[vio]

AKM в сообщении #222339 писал(а):

Теперь легко перенесётся хоть вправо, хоть влево.

Вот, что я смог упростить максимум :
$z(1-C(a_1^2+a_2^2)-z)=Ca_1^2a_2^2$
а дальше, просто голова пухнет - не знаю, что делать!
про биквадратное уравнение вообще первый раз слышу, что бывает такое.
надеюсь на спасение от знающих математиков

[EtCetera]

vio
А про квадратное слышали?
$Cz^2+\left(C(a_1^2+a_2^2)-1\right)z+Ca_1^2a_2^2=0$
Сравните:
$az^2+bz+c=0$
Такое уравнение решается нахождением дискриминанта:
$D=b^2-4ac$
...с последующим нахождением собственно корней:
$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
P.S. Кстати, в Вашей записи не хватает $C$ перед вторым появлением $z$.

[AKM]

EtCetera,

ну что Вам стоило до конца дорешать? И ответ написать? И не мучать парня?
Вдруг и правда, в доме что-то протекает, а мы тормозим расчёт и изготовление важной детальки?
А уж кому интересно подставить С в явном виде в надежде увидеть какую-нть симметрично красивую итоговую формулу --- тот сам себя удовлетворит...

[MGM]

AKM в сообщении #222601 писал(а):

EtCetera,

ну что Вам стоило до конца дорешать? И ответ написать? И не мучать парня?
Вдруг и правда, в доме что-то протекает, а мы тормозим расчёт и изготовление важной детальки?
А уж кому интересно подставить С в явном виде в надежде увидеть какую-нть симметрию в итоговой формуле --- тот и сам справится.

Судя по рисунку, проблема с крышей.

[EtCetera]

АКМ
А что, правда можно? И даже без красного восклицательного знака?
Дадите отмашку - дорешаю .

Да не надо так уж формализовываься.
Ну не студент-же-халявщик, явно.
И даже если бы таковой --- то какой актёр! /AKM