Найти объем тела (пересечение 3-х цилиндров)

[Alhimik]

Какие еще эллипсы в цилиндрах? Там, вроде, круги...

[Алексей К.]

Нарыть эллипс в цилиндре --- не проблема, но фраза

vvvv в сообщении #218662 писал(а):

Поверхность, ограничивающая искомый объем, состоит из 12 квадратов, вырезанных из цилиндра дугами эллипсов.

явно не для воскресного вечера...

[vvvv]

А линия пересечения цилиндров - окружность?

[vvvv]

Вот окончательное решение задачи.Оказывается удобно рассмотреть 1/48 часть объема рассматриваемого тела.В этом случае
легко вычисляется двойной интеграл, с которым легко справился Mathcad см. картинку.

[vvvv]

Хм, странно получается. Двойной интеграл, предложенный ewert`ом , дает то же значения объема, что и у меня.Хотя я никак не пойму - где эта 1/8 часть объема, вычисляемая им
Вот вычисления (символьные и числовые) проделанные в Mathcad`е.

[ewert]

vvvv в сообщении #219270 писал(а):

Хотя я никак не пойму - где эта 1/8 часть объема, вычисляемая им

А это очень легко понять, почему никак не поймёте. Вам мешает избыточная любовь к маткадному рисованию. Которое чаще всего выдаёт на поверхность нечто невразумительное. Вот и Ваши здешние картинки совершенно невнятны -- кроме одной или двух, на которых при некотором напряжении можно разглядеть искомое тело, но только если заранее знать, как оно должно выглядеть. А это легче всего представить рисованием даже не вручную, а просто в уме.

А для составления интеграла -- ещё лучше вообще ничего не рисовать (ну или почти ничего). А действовать по стандартной схеме: попытаться получить требуемое тело обрезанием некоего вертикального цилиндра какими-то поверхностями сверху и снизу. Какими конкретно -- совершенно неважно, лишь бы эти поверхности не пересекались внутри цилиндра. Тогда пределы в тройном интеграле расставляются автоматически: внешний (двойной) интеграл берётся по основанию цилиндра, а внутренние пределы (по оси $z$) определяются уравнениями тех поверхностей. Для этого вовсе не нужно ничего рисовать, надо лишь чётко понимать, какое уравнение отвечает верхней поверхности, а какое нижней. Как потом расставлять пределы в двойном интеграле -- это уже дальнейшая тема, и обычно тривиальная.

Так вот: здесь ситуация вполне благоприятна для реализации этой стандартной схемы. Два горизонтальных цилиндра пересекаются по некоторой области, проекция которой на горизонтальную плоскость -- это, очевидно, квадрат. Вертикальный цилиндр проходит внутри этого квадрата, поэтому верхние и нижние ограничивающие поверхности не пересекаются внутри вертикального цилиндра. Само тело естественным образом рассекается на восемь одинаковых кусков горизонтальной плоскостью $z=0$ и двумя вертикальными: $y=x$ и $y=-x$ (это те плоскости, в которых лежат линии пересечения горизонтальных цилиндров). Для каждого из восьми кусков внешний двойной интеграл берётся по соответствующей четверти горизонтального круга, а внутренний -- от $z=0$ до уравнения поверхности соотв. горизонтального цилиндра. Вот и всё.

Да, а ответ -- $8(2-\sqrt2)$ -- на Ваших картинках действительно присутствует. Но закопан так тщательно, что обнаружить его непросто.

[PAV]

vvvv: Вам уже делались предупреждения и был временный бан за неиспользование средств набора формул и публикацию готовых решений учебных задач:
post206067.html#p206067
post206098.html#p206098
post206627.html#p206627
За очередной рецидив - бан на 2 недели.

[Yu_K]

http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html - есть еще забавная задача про объем области пересечения 6 одинаковых цилиндров, которые проходят перпендикулярно граням додекаэдра.

[Yu_K]

Для шести цилиндров получается 12*5 = 60 одинаковых "пирамидок" с кривым (цилиндрическим) четырехгранным основанием или если их разрезать пополам, то будет 120 одинаковых "пирамидок" с треугольным основанием.

http://www.youtube.com/watch?v=Xw0xNOeIIsQ - мультик - шесть полых одинаковых цилиндров пересекающих грани додекаэдра (перпендикулярно граням) - вид сверху, срезаются слои до того пока ничего не останется.

[Yu_K]

Вот такой вот получился у меня объем общей части шести цилиндров единичного радиуса
$V_5=40\sqrt5-10\sqrt10\sqrt{5+\sqrt5}$.
Расчет в цилиндрических координатах, тройной интеграл, считается 1/120 объема, точки пересечения пов-тей нужные для расстановки пределов интегрирования аналитически найдены с помощью Маткада (так три полых цилиндра из шести при пересечении имеют 8 общих точек).
Немного больше, чем объем сферы единичного радиуса и меньше, чем $V_4$ ссылка.

Картинка выше получена с использованием POVRAY - текстура дерево сосны дает вроде самое качественное изображение, а вот металл, золото, гранит не так хорошо показывают поверхность.

Небольшой апдейт от 14/06/09. Да вроде правильно все - такой же ответ у Баумана http://private.mcnet.ch/baumann/Gross6_e.htm.

Интересно, что площадь пов-ти и объем связаны коэффициентом $3*r$, где $r$ - радиус цилиндра.